3.2.3 空间的角的计算特级教师教学实录

空间向量的应用 一、知识点梳理

设直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2，平面,的法向量分别为n1,n2，则：

1．设直线l1,l2所成的角为[0,2]，则：

cos|cose1,e2|

2．设直线l1与平面所成的角为[0,2]，则：

sin|cose1,n1|

3．设平面,所成的二面角的大小为[0,]则：

①若[0,②若(2]，cos|cosn1,n2|

2,]，cos|cosn1,n2|

二、学法指导

1．

平面法向量的基本概念．法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的．

2．

平面法向量的基本计算．根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为(x，y，z)，在已知平面内寻找两条相交直线a，b，并用向量表示它们．由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零列出方程组．由于有三个未知数x，y，z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个．

3．

平面法向量的基本应用．在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角(利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余)；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角(同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可)．

4．

关于空间向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的．在绝大部分题目中，空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题(面面垂直基本类似)；二、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法

向量所称的角来进行转化(线面角与此类似)．而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的．

三、单元检测

(一)填空题(每小题5分，共70分) 1．已知向量a1,1,0,b1,0,2，且k则k的值是

．

ab与2ab互相垂直，2．已知a3i2jk,bij2k，则5a与3b的数量积等于 ．

3．已知向量a0,2,1,b1,1,2，则a与b的夹角为

．

4．在下列命题中：①若a,b共线，则a,b所在的直线平行；②若a,b所在的直线是异面直线，则a,b一定不共面；③若a,b,c三向量两两共面，则a,b,c三向量一定也共面；④已知三向量a,b,c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc．其中正确命题的个数为 ．

5．直三棱柱ABCA1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c，

则A1B ．

6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0，则△BCD是 三角形．

7．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 ．

8．已知向量a1,0,2,b6,21,2，若a∥b，则与的值分别是

．

9．(如图)一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为

．

[来源:Zxxk.Com][来源:学|科|网]

10．已知3a2b2,0,4,c2,1,2,ac2,b4,为b,c夹角，则cos=

．

11．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为

．

，D在棱BB1上，且12．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin

．

[来源:Zxxk.Com]

13．如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则当AE等于

时，二面角D1ECD的大小为π．

414．已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别是AB,AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为 ．

(二)解答题(共90分) 15．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出A,B1,E,D1的坐标；

(2)求AB1与D1E所成的角的余弦值．

16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图E,F分别是BB1,CD的中点，

(1)求证：D1F平面ADE；

(2)cosEF,CB1．

A

x

17．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，

侧棱PD底面ABCD，

PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F．

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB平面EFD．

z

18．如图，四边形ABCD是直角梯形，

SABCBAD90，

[来源学_科_网Z_X_X_K]zD1A1B1EFBCyC1D

ySA平面ABCD，SAABBC1,AD(1)求SC与平面ASD所成的角余弦；

(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

1．

2BCADx

19．如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC．

(1)求证：OD∥平面PAB；

1时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

2(3)当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?

(2)当k源:Zxxk.Com][来

20．P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB2,1,4,AD4,2,0,AP1,2,1．

(1)求证：PA平面ABCD; (2)对于向量a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，定义一种运算：

(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，

试计算(ABAD)AP的绝对值;说明其与几何体PABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(ABAD)AP的绝对值的几何意义．