4.3.2 空间两点间的距离公式教案2

§4.3

空间直角坐标系

4.3.1

空间直角坐标系

4.3.2

空间两点间的距离公式

内容要求

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置(重点).2.掌握空间两点间的距离公式(重点)．

知识点1

空间直角坐标系

1．空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系及相关概念

①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．

②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．

(2)右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

2．空间一点的坐标

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P(0，0，3)位于xOy平面内．(×) (2)点M(1，0，0)位于x轴上．(√) (3)点N(－2，0，3)的位置在xOz平面内．(√) (4)在空间直角坐标系中，若P(2，b，4)，Q(－2，－3，c)关于原点对称，则b＋

c＝－2.(×) 知识点2

空间两点间的距离

1．空间两点间的距离公式

[来源学科网](1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离

|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2．

2．空间中的中点坐标公式

[来源:Zxxk.Com]

在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是x1＋x2y1＋y2z1＋z2，2，2．

2【预习评价】

1．点M(1，2，3)到原点的距离为(

) A．6

答案

D 2．点A(2，1，－4)到y轴的距离为________．

答案

25

题型一

求空间中点的坐标

【例1】

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．

B.6

C．14

D.14

解

如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.

[来源学科网ZXXK]

由|BM|＝2|MC1|，

22知|MM1|＝3|CC1|＝3，

11|M1C|＝3|BC|＝3. 因为M1M∥DD1，

所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为23，

21所以M3，1，3. 11由N1为DM1的中点，知N16，2，0. |M1M|＋|DD1|因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝

25＝，

6115所以N6，2，6. 规律方法

1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．

(2)充分利用几何图形的对称性．

2．求某点P的坐标的方法

一般先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N，其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标．

【训练1】

四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E为AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，并写出点P，A，B，C，E的坐标．

解

建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，1)，E(1，1，0)．

题型二

空间中点的对称问题

【例2】

已知点A(－3，1，－4)，分别写出点A关于原点、x轴、y轴、z轴及点M(1，2，3)的对称点的坐标．

解

点A(－3，1，－4)关于原点的对称点为(3，－1，4)；关于x轴的对称点为

(－3，－1，4)；关于y轴的对称点为(3，1，4)；关于z轴的对称点为(3，－1，－4)．

设点A关于点M(1，2，3)的对称点为A′(x，y，z)．

y＋1x＝5，由中点坐标公式，得2＝解得y＝3，

2，z＝10.z－43＝2.∴点A关于点M(1，2，3)的对称点的坐标为(5，3，10)．

规律方法

空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数．

【训练2】

在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．

(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．

解

(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x－31＝2，

x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P3(6，－3，－12)．

考查方向

方向1

求空间两点间的距离

【例3－1】

已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，

C(3，1，5)．

(1)求△ABC中最短边的边长；

(2)求AC边上中线的长度．

解

(1)由空间两点间距离公式得：

|AB|＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3，

|BC|＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6，

|AC|＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29. ∴△ABC中最短边是BC，其长度为6. 7(2)由中点坐标公式得AC的中点坐标为2，3，2，

∴AC边上中线的长度为

71224－（2－2）＋（3－3）＋＝. 22方向2

空间两点间距离公式的应用

【例3－2】

(1)已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为________；

(2)已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．

(1)解析

由空间中两点间的距离公式，得

|AB|＝[2－（1－t）]2＋[t－（1－t）]2＋（t－t）2

＝5t2－2t＋2 2

题型三

空间中两点间的距离问题

＝195t－5＋5. 2135当t＝5时，|AB|取最小值，最小值为5. 答案

355

(2)解

∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，

∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即

(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，

即x＋z＝1.①

又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，

∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即

(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，

即2x＋z＝0.②

x＝－1，由①②得

z＝2，∴点P的坐标为(－1，0，2)．

规律方法

求空间两点间的距离的方法

求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定．一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.

课堂达标

1．已知A(－1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为

(

) A．(－1，－2，－7)

C．(1，－2，－7)

B．(－1，－2，7) D．(1，2，－7) 解析

点A关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A. 答案

A

2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是(

) A．－3或4

B．6或2 C．3或－4

D．6或－2 解析

由题意得（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26，解得x＝－2或x＝6. 答案

D 3．设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为

(

) A．(1，0，0)

B．(－1，0，0) C．(1，0，0)或(0，－1，0)

D．(1，0，0)或(－1，0，0) 解析

因为点P在x轴上，

所以设点P的坐标为(x，0，0)．

由题意，知|PP1|＝2|PP2|，

所以（x－0）2＋（0－2）2＋（0－3）2

＝2（x－0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2. 解得x＝±1. 所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．

答案

D 4．在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，2，3)，B(4，5，6)，则|AB|＝________．

解析

|AB|＝（4－1）2＋（5－2）2＋（6－3）2＝33. 答案

33 5．已知正四面体A－BCD的棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标．

解

设底面正三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，则AO⊥平面BCD，M是BC的中点，且DM⊥BC，过点O作ON∥BC，交CD于点N，则ON⊥DM，故以O为坐标原点，OM，ON，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为正四面体A－BCD的棱长为1，O为底面△BCD的中心，

22所以OD＝3·DM＝313131－4＝3，OM＝3DM＝6，OA＝AD2－DO2＝31－96＝3，

331613所以A0，0，，B，－，0，C，，0，D－，0，0. 326623课堂小结

1．结合长方体的长、宽、高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．

2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．

3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．

基础过关

1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，2，1)关于平面yOz对称点的坐标为(

) A．(－1，－2，1)

C．(1，－2，－1)

B．(－1，2，1) D．(1，2，－1) 解析

点(1，2，1)关于平面yOz对称点的坐标为点(－1，2，1)．故选B. 答案

B 2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)，有下列说法：

①点P到坐标原点的距离为13；

31②OP的中点坐标为2，1，2；

③点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；

④点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)；

⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，－3)．

其中正确的个数是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 解析

由空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)，知：

在①中，点P到坐标原点的距离为d＝1＋4＋9＝14，故①错误；

31在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为2，1，2，故②正确；

在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③不正确；

在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，

－3)，故④错误；

在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，

－3)，故⑤正确．故选A. 答案

A 3．已知点A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为

(

) A．(6，0，0)

B．(6，0，1) C．(0，0，6)

D．(0，6，0) 解析

∵点P在x轴上，

∴设P(x，0，0)，

又∵|PA|＝|PB|，

∴（x－1）2＋（0－1）2＋（0－1）2

＝（x－3）2＋（0－3）2＋（0－3）2. 解得x＝6.故选A. 答案

A 4．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，点B为点(1，－3，1)在平面yOz上的投影，则|AB|＝________．

解析

∵点B为点(1，－3，1)在平面yOz上的投影，

∴B(0，－3，1)，

又点A(1，0，2)，

∴|AB|＝（1－0）2＋（0＋3）2＋（2－1）2＝11. 答案

11 5．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．

解析

∵B(4，－3，7)，C(0，5，1)，∴BC边的中点坐标是D(2，1，4)，

∴BC边上的中线长为（3－2）2＋（3－1）2＋（2－4）2＝9＝3. 答案

3 6．(1)在z轴上求与点A(－4，1，7)和B(3，5，－2)等距离的点的坐标；

(2)在yOz平面上，求与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距离的点的坐标．

解

(1)由题意设C(0，0，z)，

∴C与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离，

∴|AC|＝|BC|，

∴16＋1＋（7－z）2＝9＋25＋（z＋2）2，

14∴18z＝28，∴z＝9，

14∴C点的坐标是(0，0，9)．

(2)设yOz平面内一点P(0，y，z)与A，B，C三点距离相等，则有|AP|2＝9＋(1－y)2＋(2－z)2，[来源学科网Z.X.X.K][来源学§科§网Z§X§X§K]

|BP|2＝16＋(2＋y)2＋(2＋z)2，

|CP|2＝(5－y)2＋(1－z)2，

由|AP|＝|BP|，及|AP|＝|CP|，

22229＋（1－y）＋（2－z）＝16＋（2＋y）＋（2＋z），得

22229＋（1－y）＋（2－z）＝（5－y）＋（1－z），3y＋4z＋5＝0，化简可得

4y－z－6＝0，

y＝1，解得

z＝－2，∴点P(0，1，－2)为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．

7．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求|PQ|.

解

以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由题意得，B(a，a，0)，D′(0，0，a)，

aaa所以P2，2，2. 又C(0，a，0)，B′(a，a，a)，

aa所以Q2，a，2. 所以|PQ|＝a＝2. 能力提升

8．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(

) aa2a2aa22－2＋2－a＋2－2



21A.2a

B.2a C．a

D.2a

a解析

由题意得Fa，2，0，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，

aaa∴E2，2，2，则|EF|＝

a22a2aa2a－2＋2－2＋0－2＝a. 2答案

B 9．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是(

) A．33

B．36

C．23

D．26 解析

|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2

＝5a2＋10a＋59 ＝5(a＋1)2＋54. ∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54. ∴|AB|min＝54＝36. 答案

B 10．已知△ABC的顶点为A(1，1，1)，B(0，－1，3)，C(3，2，3)，则△ABC的面积是________．

解析

|AB|＝1＋4＋4＝3，|AC|＝4＋1＋4＝3，

|BC|＝9＋9＋0＝32. 因为|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

所以△ABC为直角三角形．

19所以S△ABC＝2×3×3＝2. 9答案

2

11．对于任意实数x，y，z，（x＋1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋x2＋y2＋z2的最小值为________．

解析

设P(x，y，z)，M(－1，2，1)，

则（x＋1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋x2＋y2＋z2

＝|PM|＋|PO|. 由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为6. 答案

6 12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长．

解

如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)．

设点E的坐标为(x，y，0)，

xy在坐标平面xOy内，直线AC的方程为2＋4＝1，

即2x＋y－4＝0，

又DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0. 8x＝，2x＋y－4＝0，584由得∴E5，5，0. 4x－2y＝0y＝5，∴|B1E|＝

61082425－2＋5－4＋（0－2）2＝5，

610即B1E的长为5. 13．(选做题)已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小？

解

∵平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，

∴BE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，

∴BE⊥BC，又AB⊥BC，∴AB，BC，BE两两垂直．

过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，

连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a，

2∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝2a，

∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，

22则Ma，0，1－a，

2222Na，a，0. 22(1)|MN|＝2222222a－a＋0－a＋1－a－0

2222221a－＋. 22＝a－2a＋1＝222(2)由(1)得，当a＝2时，|MN|最小，最小为2，这时M，N恰好为AC，BF的中点．