1.2.1 中心投影与平行投影教学设计方案

\ 1．2.1

中心投影与平行投影

随着我国国际地位的不断提升，中国文化越来越受到关注.2011年10月4日，秘鲁举办了“美的享受·第12届中国电影节”，以纪念华人达秘鲁162周年．

电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．

放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．

问题1：放电影成像与太阳光成像原理一样吗？

提示：不一样．

问题2：电影成像中的光线有何特点？

提示：光是由一点向外散射．

问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？

提示：一束平行光线．

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影与平行投影

投影

中心投影

定义

光由一点向外散射形成的投影

在一束平行光线照射下形成的投影

特征

投影线交于一点

分类

平行投影

投影线互相平行

正投影和斜投影

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如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．

问题1：水立方的外观形状是什么？

提示：长方体．

问题2：假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？

提示：水立方的一个侧面．

问题3：若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？

提示：水立方的一个表面．

问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？

提示：可以．

三视图

正视图

概念

光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图

光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图

光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图

一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样

规律

侧视图

俯视图

1．平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别

(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．

(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．

2．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．

3．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

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[例1]

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．

[思路点拨]

由平行投影的定义知投影线垂直于投影面，故确定四边形AGFE的四顶点在各个投影面的位置，把各投影点连线即可．

[精解详析]

(1)四边形AGFE在下底面ABCD的投影中，AE重合为点A，F为CD中点，G为BC中点，故在下底面的投影为：，即为a图，在上底面的投影与a图相同．

(2)四边形AGFE在正面ABB1A1的投影中，F点为A1B1中点，G为B1B中点，图形为即为c图，其在面DCC1D1内的投影与c图相同．

，(3)四边形AGFE在侧面ADD1A1的投影中，F点与D1重合，G点在正方形ADD1A1的中心处即在AD1中点上，图形为[答案]

a b c ，即是b图，其在另一侧面BCC1B1内的投影与b图相同．

[一点通]

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

1．以下关于投影的叙述不正确的是(

) ．A．手影就是一种投影

B．中心投影的投影线相交于点光源

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C．斜投影的投影线不平行

D．正投影的投影线和投影面垂直

解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．

答案：C 2.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为(

) 点，

解析：N在面ADD1A1内的投影是AD中点，M在面ADD1A1内的投影是AA1中点．

答案：A

[例2]

画出如右图所示的四棱锥的三视图．

[思路点拨]

画图时，要注意做到“长对正、高平齐、宽相等”．

[精解详析]

几何体的三视图如下：

[一点通]

画三视图的注意事项

(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．

(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

3．观察下图所示的几何体：

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该几何体的正视图为________；侧视图为________；俯视图为________．

解析：(1)为正视图，(2)为俯视图，(3)为侧视图．

答案：(1)

(3)

(2) 4．画出下图所示几何体的三视图．

解：该几何体为三棱柱，三视图如下：

5．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

解析：

根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D. 答案：D

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[例3]

(10分)根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．

(1)

(2)

[思路点拨]

由三视图还原空间几何体主要考查学生的空间想象能力．要注意结合三种视图间的关系推测几何体的形状，再利用三种视图加以验证．

[精解详析]

(1)由三视图可知，下面为棱柱、上方为正方体故表示物体的实物图形如图．

(6分) (2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图

(10分) [一点通]

由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．

6.(2011·浙江高中数学会考)若右图是一个几何体的三视图，则这何体是(

) A．圆柱

B．圆台

C．圆锥

D．棱台

个几解析：由三种视图可分析，该几何体为圆台．

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答案：B 7．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体．

(1)对应________；(2)对应________；

(3)对应________；(4)对应________；

(5)对应________．

解析：(1)对应D.

(2)对应A.

(3)对应E.

(4)对应C.

(5)对应B. 答案：D

A

E

C

B

1．对于同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

2．对于画简单组合体的三视图，要先弄清由哪几个基本几何体组合而成，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．

3．对于还原组合体，需要综合主视图、左视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是正确还原的关键．

1．如图所示物体的三视图是(

)

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解析：俯视图应为两个实线同心圆．

答案：C 2．如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是(

)

解析：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示．

答案：B 3.(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图示，则相应的侧视图可以为(

) 所

解析：由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆三棱锥的组合体，如图所示．

由图可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线．

答案：D 4．如图所示，在这4个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

) 锥和

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A．①②

C．①④

B．①③

D．②④

解析：①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形；

②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；

③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为：梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外两个三角形，且对应顶点相连)；

④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形及中心．

答案：D 5．下图中三视图所表示几何体的名称为________．

解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面．

答案：圆柱

6．(2011·广州测试)如图所示，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

的中

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.

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答案：①②③

7．说出图中的三视图表示的几何体，并画出它的示意图．

解：三视图表示的几何体是上面一个六棱柱与下面一个六棱锥的组合右图所示．

8．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．

体．如

(1)判断该几何体是否为棱柱；

(2)画出它的三视图．

解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．

(2)该几何体的三视图如图：

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