2.1.4 平面与平面之间的位置关系课堂实录

第3课时

空间中直线与平面、平面与

平面的位置关系

1.了解直线与平面之间的三种位置关系.

2.了解平面与平面之间的两种位置关系.

3.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系.

如图,线段A1B是长方体ABCD—A1B1C1D1的一条对角线.

问题1:结合教材,分析直线A1B与长方体六个表面所在平面的关系.

(1)直线A1B上所有的点都在平面

上,说明直线A1B在平面

内,记作:

; (2)直线A1B与平面CC1D1D没有公共点,说明直线A1B与平面

平行,记作:

; (3)直线A1B与平面CC1B1B只有一个公共点,说明直线A1B与平面

相交,记作:

,在长方体表面所在平面中还有三个平面与直线A1B相交,分别是

、

、

;

(4)平面AA1B1B与平面CC1B1B有一条公共直线BB1,说明平面AA1B1B与平面CC1B1B相交于直线BB1,记作:

; (5)平面ABCD与平面

没有公共部分,说明平面ABCD与平面

平行,记作:

.

问题2:直线和平面的位置关系.

位置

关系

直线a在平面α内

直线a在平面α外

直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

公共点

公共点

符号

表示

图形

表示

公共点

a∩α=A

公共点

a∥α

a⊂α

问题3:两个平面的位置关系.

位置关系

两个平面

平行

两个平面

相交

图示

表示法

公共点个数

0个

有无数个

(在一条直线上)

α∥β

α∩β=a

问题4:两个平面的位置关系的画法.

(1)两个平面平行的画法

两个平面平行时,要注意把表示平面的平行四边形画成

,如图①,而图②的画法则不恰当.

(2)两个平面相交的画法

①先画表示两个平面的平行四边形相交的两边.

②再画出表示两个平面交线的线段.

③过图①中线段的端点分别引线段,使它们平行且等于②中表示交线的线段.

④画出图中表示平面的平行四边形的第四边(被遮住的线,可以用虚线,也可以不画).

直线与平面的位置关系

已知:如图,A∈l,A∈α,B∉α,B∈l.

求证:直线l和平面α相交.

平面与平面的位置关系

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,在图甲中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,请画出图甲,图乙中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.

数学语言的相互转换

若两条异面直线中的一条在平面α内,试讨论另一条直线与平面α的位置关系,并画出图形.

l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(

).

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:(1)AA1B1B AA1B1B A1B⊂平面AA1B1B (2)CC1D1D A1B∥平面CC1D1D (3)CC1B1B A1B∩平面CC1B1B=B 平面AA1D1D 平面ABCD 平面A1B1C1D1

(4)平面AA1B1B∩平面CC1B1B=BB1

(5)A1B1C1D1

A1B1C1D1

平面ABCD∥平面A1B1C1D1

问题2:有无数个

有且只有一个

无

问题4:(1)对应边平行

重点难点探究

探究一:【解析】由已知直线l和α有公共点A,∴直线l不平行于平面α.假设直线l和α不相交,则l⊂α.

∵B∈l,∴B∈α,与已知B∉α矛盾, ∴假设不成立,即直线l和平面α相交.

【小结】证明点、直线、平面的位置关系时,若直接证明比较困难,则可考虑用反证法.

探究二:【解析】在图甲中,过点E作EN平行于BB1交CD于点N,连接NB,并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.

在图乙中,延长DC,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.

证明如下:在图甲中,因为直线EN∥BF,所以B,N,E,F四点共面,EF与BN相交,交点为M.又因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM所在直线为两平面的交线.

在图乙中,C1M与DC的延长线交于点M,所以M∈DC.又因为DC⊂平面ABCD,所以M∈平面ABCD,而C1M∥A1B,所以C1,M,B,A1四点共面,所以M∈平面A1C1B.即点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又因为点B也是两平面的公共点,所以BM所在直线即为两平面的交线.

【小结】由公理3知两平面交线的存在性与唯一性,要确定两平面的交线只需确定两个平面的两个公共点即可.

探究三:【解析】用符号语言表示为:若直线a与b异面,a⊂α,则b∥α.如图所示.

[问题]上面的答案正确吗?如果不正确那么有几种情况呢? [结论]在判断其位置关系时,要善于采取逐一判断的方法,防止遗漏.用符号语言表示为:若直线a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.如图所示.

【小结】判断直线与平面的位置关系要善于找出其相应的空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要全面.

全新视角拓展

【解析】对于A,直线l1与l3可能异面;对于C,直线l1,l2,l3可能构成三棱柱三条棱而不共面;对于D,直线l1,l2,l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.

【答案】B 思维导图构建

无数个公共点

没有公共点