习题2.1第二课时教学实录

复习课(一)

空间几何体及点、线、面的位置关系

魏县第一中学

杨会刚

空间几何体的三视图、表面积与体积

(1)空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合．要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质．

(2)空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题．

[考点精要]

1．三视图的画法规则

(1)正、俯视图都反映了物体的长度——“长对正”；

(2)正、侧视图都反映了物体的高度——“高平齐”；

(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．

2．表面积

(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和．

(2)旋转体的表面积：

①S圆柱＝2πrl＋2πr2；

②S圆锥＝πrl＋πr2；

③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2. 3．体积

(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．

1(2)锥体：V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．

31(3)台体：V台体＝(S＋SS′＋S′)h.其中S，S′分别表示台体的上、下底面面积．

3[典例]

(1)给出下列命题：

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；

②球的直径是连接球面上两点的线段；

③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．

(2)(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

(

)

A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

(3)(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

[解析]

(1)①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体A-CB1D1；②错误，因为球的直径必过球心；③错误，必须是相邻的两个侧面．

(2)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋232＝14，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

2(3)由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为

18V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.

338[答案]

(1)①

(2)C

(3)π

3[类题通法] (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．

[题组训练]

1．下列说法正确的是(

) A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线

C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D．圆台的母线可能平行

解析：选C

对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．对于D，圆台的母线不可能平行．

2．某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是(

)

解析：选A

该几何体是由圆柱切割得到的，由俯视图可知正视方向和侧视方向，可进一步画出正视图和侧视图，如图所示，故选A.

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S为________．

解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以S＝2×(4×1＋3×1＋4×3)＋2π－2π＝38. 答案：38

与球有关的问题

与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，属于低档题．

[考点精要]

球的表面积与体积

(1)球的表面积公式S球＝4πR2. 4(2)球的体积公式V球＝πR3. 3[典例]

(1)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(

)

A.C.3π

22π

3B．3π

D．2π

(2)(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是(

) A．17π

C．20π

B．18π

D．28π

28π，则它的表面积是3

[解析]

(1)如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD，

所以AE⊥平面BCD. 因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，所以AE＝＝3. 213在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半22径为3. 221，EO＝，所以22OA433所以该球的体积V＝π3＝π.

3221(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如441428图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面383373积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A. 84[答案]

(1)A

(2)A [类题通法] 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的. [题组训练]

1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(

) A．2

C.2

B．1

D.2

2中面解析：选C

连接BC1，B1C，交于点O，则O为面BCC1B1的心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形xxBCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R22＝

x2x21(R为球的半径)，所以2＋2＝1，即x＝2，即AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为2×1＝2，选C. 2．设A，B，C，D是球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝3，AC＝4，AD＝11，则球的表面积为(

) A．36π

C．100π

B．64π

D．144π

解析：选A

三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥A-BCD的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R，则2R＝32＋42＋112＝6，故R＝3，∴外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选A. 空间点、线、面位置关系的判断与证明

空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查．常以选择、解答题形式出现，难度中档．

[考点精要]

1．判定线线平行的方法

(1)利用定义：证明线线共面且无公共点．

(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．

(3)利用线面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (4)利用面面平行的性质定理：

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (5)利用线面垂直的性质定理：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 2．判定线面平行的方法

(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．

(2)利用直线和平面平行的判定定理：

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (3)利用面面平行的性质的推广：

α∥β，a⊂β⇒a∥α. 3．判定面面平行的方法

(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．

(2)利用面面平行的判定定理：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β. (4)平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β. 4．证明直线与平面垂直的方法

(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面．

符号表示：∀a⊂α，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”) (2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号表示：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝P⇒l⊥α. (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α. (4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．

符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒m⊥β. 5．证明平面与平面垂直的方法

(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直．

符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°⇒α⊥β. (2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．

符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β. [典例]

如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC. (1)求证：AE⊥平面CDE；

(2)求证：FG∥平面BCD；

(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．

[解]

(1)证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC. ∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，

∴AE⊥平面CDE.

(2)证明：取AB中点H，连接GH，FH，

∴GH∥BD，FH∥BC，

∵GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴GH∥平面BCD. 同理：FH∥平面BCD，

又GH∩FH＝H，

∴平面FHG∥平面BCD，

∵GF⊂平面FHG，

∴GF∥平面BCD. (3)取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB. 取线段DC的中点M，取线段DB中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM. 11则MS綊BC，又RE綊BC，

22∴MS綊RE，

∴四边形MERS是平行四边形，

∴RS∥ME. 在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，

∴EM⊥DC. 由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，

∴BC⊥平面CDE. ∵EM⊂平面CDE，∴EM⊥BC. ∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD. ∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD. ∵RS⊂平面BDR，

∴平面BDR⊥平面DCB. [类题通法] 1．平行、垂直关系的相互转化

2．证明空间线面平行或垂直需注意三点

(1)由已知想性质，由求证想判定．

(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．

(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

[题组训练]

1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

解析：选D

平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以答案选D. 2.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)

解析：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，

∴BC⊥AC. ∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC. 又AF⊥PC，BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC. 答案：AF

3．(江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，

所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平

面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

空间角求法

空间角包括异面直线所成角、线面角、二面角，常以选择、填空、解答题形式考查，难度中档以上．主要考查转化思想与空间想象能力．

[考点精要]

1．异面直线所成角的求法

(1)一作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角，常用直接平移法、中位线平移法和补形平移法；

(2)二证：证明作出的角就是所要求的角；

(3)三计算：一般通过构造三角形来求角．

2．求直线与平面所成角的方法

(1)确定点在平面内的射影的位置是解题的关键．只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．

(2)求斜线与平面所成角的一般步骤：①寻找(或作出)过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定所求角；③把该角放在三角形中计算．

(3)当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是90°；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角是0°. 3．二面角的平面角的确定

(1)用定义法来确定二面角的平面角：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”点，是为了方便计算平面角的大小)．

(2)垂面法：过二面角棱上一点，作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面分别相交得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．

(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，可找到二面角的平面角或其补角．此种方法通用于求二面角的所有题目．

4．求二面角的大小

一作，作二面角的平面角；二证，证明该角是所求二面角的平面角；三计算，解三角形，确定平面角的大小．

[典例]

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的大小；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．

[解]

(1)∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，

∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，

∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝2，AC＝2，

2OC1sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°. AC2即AO与A′C′所成的角为30°. (2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE. 由题知OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

1在Rt△OAE中，OE＝，

2AE＝

12512＋＝22，

OE5∴tan∠OAE＝＝. AE5(3)由(1)知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，

∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°. [类题通法] 求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．但要注意角的范围．

[题组训练]

1．(浙江高考)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求证：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

解：(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥

BC，所以AC⊥平面BCFE，

又因为BF⊂平面BCFE，

因此BF⊥AC. 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又AC∩CK＝C，

所以BF⊥平面ACFD. (2)过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ. 因为BF⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．

在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，

313得AK＝13，FQ＝. 133133在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝3，得cos∠BQF＝. 134所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为3. 42．已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形．

(1)求此几何体的体积V的大小；

(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

(3)求二面角A-ED-B的正弦值．

解：(1)由三视图画出几何体A-BCED的直观图如图所示．

∵AC⊥平面BCDE，

1则V＝·S·AC

3四边形BCED11＝×(2＋4)×4××4＝16，

32∴几何体的体积V为16. (2)取EC的中点是F，连接BF，则BF∥DE，

∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB＝42，BF＝AF＝25，

∴cos∠ABF＝10. 510. 5∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为(3)AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连接AG.可得DE⊥平面ACG，

从而AG⊥DE，∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

85在△ACG中，∠ACG＝90°，AC＝4，CG＝，

5∴tan∠AGC＝55.∴sin∠AGC＝. 235. 3

1．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(

) ∴二面角A-ED-B的正弦值为

A．2＋5

C．2＋25

B．4＋5

D．5 上面＝解析：选C

作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边的高CD，连接SD.在三棱锥S

-ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD1111，斜高SD＝5，AC＝BC＝5.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝×2×2＋×1×5＋2221×1×5＋×2×5＝2＋25. 22．下列命题中假命题是(

) A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直

B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行

解析：选A

垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A错误；选A. 3．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；

③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β. 其中真命题是(

)

A．①③

C．③④

B．①②

D．①④

解析：选D

对于①垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于②不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于③平面α，β可能相交，错误；对于④满足平面α与平面β平行，正确．

4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是(

)

解析：选D

该三棱锥是由三条交于一点且两两垂直，长度分别为1,2,3的棱构成的．由于不同的放置方式其三视图可为A，B，C中的情况．D选项中侧视图错误，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

2πA.

3

B．π

4πC.

3

D．2π

解析：选A

由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半14π2π球，所以该几何体的体积V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×××13＝，选A. 2336.如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，＝BD，则下列结论中不一定成立的是(

) A．AC＝BC

B．VC⊥VD

C．AB⊥VC

D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO

解析：选B

因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB. 因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB. 又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD. 又CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，

所以AB⊥VC，AB⊥CD. 又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．

1因为VO⊥平面ABC，所以VV-VO. ABC＝S△ABC·3111因为AB⊥平面VCD，所以VV-BD＋S△VCD·AD＝S△VCD·(BDABC＝VB-VCD＋VA-VCD＝S△VCD·3331＋AD)＝S△VCD·AB，

311所以S△ABC·VO＝S△VCD·AB，

33即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确．

7．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出平面ABC∥平面MNP的图形序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

AD

解析：由面面平行的判定定理可得．

答案：①②

8．已知四面体A-BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．

解析：设四面体A-BCD的棱长为a，延长AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF.由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF即异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝1EF23△AEF中，cos∠AEF＝＝. AE6答案：

9.如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA2＝VC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为________．

3解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接12OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为×2a×h＝ah＝.23三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，所以11323视图的面积为OB·OV＝×3a×h＝×＝. 22233答案：3

3又侧3

631a，EF＝a，则在2210.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：

(1)FD∥平面ABC；

(2)AF⊥平面EDB. 证明：(1)取AB的中点M，连接FM，MC. ∵F，M分别是BE，BA的中点，

1∴FM∥EA，FM＝EA＝a. 2∵EA，CD都垂直于平面ABC，

∴CD∥EA，∴CD∥FM. 又∵DC＝a，∴FM＝DC，

∴四边形FMCD是平行四边形，

∴FD∥MC. ∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC. (2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB. 又∵CM⊥AE，AB∩AE＝A，

∴CM⊥平面EAB，∴CM⊥AF. 又∵CM∥FD，∴FD⊥AF. ∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE. 又∵FD∩BE＝F，∴AF⊥平面EDB. 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2. (1)求证：AC⊥B1D；

(2)求三棱锥C-BDB1的体积．

解：(1)证明：如图，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC. 又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD. ∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D. ∵B1D⊂平面BDB1，

∴AC⊥B1D. (2)VC-BDB1＝VB1-BDC. ∵B1B⊥平面ABCD，

∴B1B是三棱锥B1-BDC的高．

1114∵VB1-BDC＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝. 33234∴三棱锥C-BDB1的体积为. 312.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．

(1)求证：BE∥平面PDF；

(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．

解：(1)证明：取PD中点为M，连接ME，MF. ∵E是PC的中点，

∴ME是△PCD的中位线，

1∴ME綊CD. 2

∵F是AB中点且ABCD是菱形，AB綊CD，

1∴ME綊AB.∴ME綊FB. 2∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF，

∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，

∴BE∥平面PDF. (2)由(1)得BE∥MF，

∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．

取AD的中点G，连接BD，BG. ∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴△ABD是正三角形，

∴BG⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，

∴BG⊥平面PAD，

过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．

又F是AB的中点，

∴H是AG的中点．

连接MG，又M是PD的中点，

1∴MG綊PA. 211112在Rt△MGH中，MG＝PA＝，GH＝AD＝，∴MH＝. 22422在正三角形ABD中，BG＝3，

13∴FH＝BG＝. 22在Rt△MHF中，MF＝22＋32＝5

2223FH215∴sin∠FMH＝＝＝，

FM552∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为15. 5

答案：

15

5