小结ppt配套的教学设计及说课稿

广东省汕头市潮南区砺青中学

高二数学◆选修1-1◆教案

编写：方婉华

圆锥曲线与方程小结（第一课时）

一、教学目标

1.认知目标：通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系，通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识。

2.过程与方法：学生通过观察和类比，借助具体的例子理解各种曲线的特点与几何性质. 3.技能情感目标：结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

二、教学重点与难点

1.教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；

2.教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点. 三、授课类型：复习课 四、课时安排：2课时 五、教 具：多媒体

六、教学过程

（一）常考点一：圆锥曲线的定义及其标准方程

圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

1.

椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

标准方程

x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)

y2x2a2＋b2＝1(a＞b＞0) 图形

a，b，c 的关系

c2＝a2－b2

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【典例精析】

例1、(2011年新课标全国高考）在平面直角坐标系x0y中，椭圆C的中心为原点，焦点F1、F22在x轴上，离心率为2，过F1的直线l交C于A、B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为

解析：

设椭圆方程为x2y2a2b21(a0,b0)又ABF2的周长为ABAF2BF2AF1BF1AF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)2a2a4a16a4又ecc2a42c22,b2a2c28x2所以椭圆的方程为16y281[方法总结] 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再结合椭圆性质、已知条件定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出

m、n即可．

2.

双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

x2y2x2标准方程2－y2

ab2＝1 a2－b2＝1 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图

形

a，b，c

的关系

c2＝a2+b2

【典例精析】

例2、双曲线16x29y2144的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上，且PF1PF264，则F1PF2

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解析：

16x29y2144双曲线x2y2化简为1916即a29，b216,c2a2b225解得a3,b4,c5,所以F1(5,0),F2(5,0)由双曲线定义知PF1PF22a6在PF1F2中，由余弦定理知cosF1PF2PF1PF2F1F22PF1PF2222PF1PF22PF1PF2F1F22PF1PF2223626442512642所以F1PF2600

[方法总结] 涉及椭圆、双曲线的点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆、双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理来解决.

3.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

其数学表达式：MF＝d(其中d为点M到准线的距离)．

y2＝2px 标准方程

(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

焦点

准线方程

【典例精析】

pF－2，0

px＝2

p0，F

2py＝－2

p0，－F

2py＝2

pF2，0

px＝－2

例3、已知P为抛物线y12x上的动点，点P在x轴上的射影为2

17Q，A(6，)，则PAPQ的最小值是2

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解析：

抛物线的准线方程为y1211设抛物线的焦点为F，则F(0,)，根据抛物线的定义可得PQPF，所以221119

PAPQPFPA.所以PAPQ的最小值为FA222[方法总结] 在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离或者把到准线的距离转化为到焦点的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．

（二）常考点二：圆锥曲线的几何性质

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解，椭圆、双曲线的离心率作为椭圆、双曲线的几何性质之一，是高考的热点，无论文科、理科几乎每年都要考查．

1.复习圆锥曲线的几何性质

（1）椭圆的几何性质

标准方程

x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)

y2x2a2＋b2＝1(a＞b＞0) 图形

范围

对称性

顶点

性质

轴

焦距

离心率

a，b，c 的关系

（2）双曲线的几何性质

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－b≤x≤b －a≤y≤a

－a≤x≤a －b≤y≤b

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

F1F2＝2c

ce＝a∈(0,1) c2＝a2－b2

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标准方程

x2y2a2－b2＝1

(a>0，b>0) y2x2a2－b2＝1

(a>0，b>0) 图

形

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a) bay＝±x y＝±abx

ce＝a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

a2a2x＝±c

y＝±c

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)

范围

对称性

顶点

渐近线

性质

离心率

准线

实虚轴

a、b、c的关系

（3）抛物线的几何性质

y2＝2px 标准方程

(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

对称轴

焦点

离心率

准线方程

范围

开口方向

焦半径

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O(0,0)

x＝0

y＝0 pF2，0

px＝－2

x≥0，y∈R

向右

PF＝

px0＋2

pF－2，0

e＝1 px＝2

x≤0，y∈R

向左

PF＝

p－x0＋2

py＝－2

pF0，2

pF0，－2

py＝2

y≤0，x∈R

向下

PF＝

p－y0＋2

y≥0，x∈R

向上

PF＝

py0＋2

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2、【典例精析】

x2y2例1、（2018年全国卷文）已知椭圆C：21的一个焦点为（2,0），则C的离心率a4是（）1A、3解析：1B、2C、2222D、3

x2y2由椭圆C:21可知b2,由因为c2,a4

所以可得a2b2c2448即a22所以离心率ec22a222

[方法总结]由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还c是在y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可a以求其他的参数，这是基本且常用的方法.

例2、(2016年全国卷文）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆1中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）41123A、B、C、D、3234

解析：

x2y2不妨设椭圆方程为221(a0,b0)ab则椭圆的上顶点为（0,b），右焦点为（c,0），则直线l的方程为xy1,即bxcybc0cbbcbc2b则椭圆中心（0,0）到直线l的距离为d22a4bcc11所以，即ea22[方法总结]挖掘题意，直接求出c与a的比值，得出离心率.

x2y2例3、过双曲线221(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线ab

相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于

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解析：

由双曲线方程知左焦点F(c,0)b2b2过F点且垂直于x轴的直线为:xc,它与双曲线的交点为M(c,),N(c,)aa因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，b2所以ac，所以b2a2ac,即c2a2a2aca也即c22a2ac0，即e2e20解得e2或e1(舍去）

[方法总结]建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．

[反思与回顾] 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆和双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题的根本方法．

七、课堂小结

1.圆锥曲线的定义、标准方程及其应用；

2.圆锥曲线的简单几何性质（主要讲如何求解椭圆及双曲线的离心率）. 八、课后作业

x2y21、椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，259则ON等于（）A、2B、4C、63D、2

2、(2014年全国卷文）已知抛物线C：y2x的焦点为F,A(x0,y0)

5是C上一点，AFx0,则x0（）4A、1B、2C、4D、8

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x2y23、(2017年全国卷3）已知双曲线C：221(a0，b0)的一条ab5x2y2渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的2123方程为（）x2y2A、1810x2y2C、154x2y2B、145x2y2D、143

x2y24、已知双曲线21的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为a235、(2010年全国卷文）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（）A、6B、56C、25D、2

6、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A、2B、313C、215D、2

x2y27、已知F1、F2是双曲线：221(a0,b0)的两个焦点，B1、B2是双曲线C的虚轴，ab若F1B1F21200，则双曲线C的离心率是（）6A、2B、612C、5D、51

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