3.2.1 几个常用函数的导数优质课教学设计

几个常用函数的导数

一、教学课题：几个常用函数的导数

二、核心素养:

本节主要:贯穿数学抽象、逻辑推理、数学运算.

必备知识：

1、掌握几个常用函数的导数公式，了解函数导数表示的几何意义、物理意义。

2、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的推导过程。

3、运用导数公式求yf(x)在xx0处的导数值。

三、教学重点：

让学生会根据导数的定义求四个常用函数：yc,yx,yx2,y1的导数，x并能利用导数公式求函数yf(x)在x0处的切线的斜率以及切线的方程，引导学生了解导数的几何意义，物理意义。

四、教学难点：

1、

由导数定义求常用函数导数的推导过程。

2、

根据yf(x)的函数图象结合导数y'f'(x)描述函数值与自变量的变化情

况，理解函数导数与切线斜率的关系。

五、课时安排：1课时

六、教学用具：板书

七、教学方法：讲述法，讨论交流

八、

教学过程：

1．新课导入：

（1）、函数yf(x)的导数的定义

f'(x)y'limyf(xx)f(x)；

limx0xx0x（2）、导数的几何意义

曲线yf(x)在某点处的切线的斜率；

（3）导数的物理意义

物体在某时刻的瞬时速度；

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（4）、由导数定义求导数的三个步骤

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)；

b、求平均变化率：yf(xx)f(x)；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limyf(xx)f(x)lim；

x0xx0x问题：如何根据上述求导步骤求一具体函数的导数呢？

2.授新课：

（1）

函数yf(x)c的导数

根据求导的三个步骤：

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)cc0；

b、求平均变化率：y00；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylim00；

x0xx0所以，常数函数的导数恒为0, Y C O X

图1

几何意义：yf(x)c的切线的斜率恒为0；

物理意义：若yf(x)c表示路程与时间的函数，则y'0表明物体瞬时速度恒为0，即物体静止。

（2）

函数yf(x)x的导数：

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a、求函数值增量：yf(xx)f(x)xxxx；

b、求平均变化率：yx1；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylim11；

x0xx0Y O X

图2

几何意义：yf(x)x的切线的斜率恒为1；

物理意义：若yf(x)x表示路程与时间的函数，则y'1表明物体瞬时速度恒为1，即物体以速度为1的匀速运动。

例1、

求yf(x)kxb(k0)的导数并简述其几何意义、物理意义。

（注：学生练习）。

解：a、求函数值增量：yf(xx)f(x)k(xx)b(kxb)kx；

b、求平均变化率：ykxk；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylimkk；

x0xx0几何意义：yf(x)kxb(k0)的切线的斜率恒为k；

物理意义：若yf(x)kxb(k0)表示路程与时间的函数，则y'k表明物体瞬时速度恒为k，即物体以速度为k的匀速运动。

说明：函数yf(x)c和yf(x)x都是函数yf(x)kxb(k0)的特例，其目的是让学生便于记忆、理解。

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（3）、函数yf(x)x2的导数

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)(xx)2x22xx(x)2；

y2xx(x)2b、求平均变化率：2xx；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylim(2xx)2xx0xx0

Y O X

图3 几何意义：f'(x)y'2x表示yf(x)x2在(x,y)的切线的斜率为2x，切线的斜率随x的变化而变化；

物理意义：若yf(x)x2表示路程与时间的函数，则y'2x表明物体在x时刻瞬时速度为2x，物体的瞬时速度随x的变化而变化，即物体变速运动。

例2、

已知yf(x)x2，求f'(4)的值（注：学生练习）

解：因为

f(x)x2；

所以

f'(x)2x；

故

f'(4)248

此例题设计意图：引导学生利用导数公式求函数在某点处的导数值，求曲线在某点处的斜率等问题，让学生明白用导数公式解决导数的相关问题是比较方便的。

（4）、函数yf(x)1的导数（注：学生先做，最后师生共同完成）

xa、求函数值增量：yf(xx)f(x)11x；

xxxx(xx)

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b、求平均变化率：yx1；

()x2xx(xx)xxxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limy11lim(2)2

x0xx0xxxx注：让同学们仿照前面类似归纳其导数的几何意义、物理意义，让学生达到从学会到会学的跨越。

11

(1)函数y＝x在点4，2处切线的倾斜角α为(

)



πππ3πA.6

B.4

C.3

D.4

(2)求下列函数的导数：

1π①y＝x20；②y＝x4；③y＝log6x；④y＝sin 3. 12[解析]

(1)y＝x＝x，则y′＝11，从而y′|x＝4＝＝1，

12x241π即切线的斜率为1，故切线的倾斜角α＝4. [答案] B (2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19. ②y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5. 1③y′＝(log6x)′＝xln 6. π④y′＝sin 3′＝0. [规律方法]

1.用导数公式求函数导数的方法

(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解．

(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用1公式的基本函数的模式，如y＝x4可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．

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2．已知f(x)，求f′(x0)的方法

先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求f′(x0)．

[跟踪训练] 3π1．(1)若f(x)＝cos x，则f′－2＝(

) 3A．0

B．1

C．－1

D.2

[解析]

∵f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x. 3π3π故f′－2＝－sin－2＝－1. [答案]

C (2)求下列函数的导数：

1①y＝5x；②y＝－x5；

③y＝ln 3；④y＝xx3.

[解]

①y′＝(5x)′＝5xln 5. 5②y′＝－(x－5)′＝5x－6＝x6. ③y′＝(ln 3)′＝0. 52④∵y＝xx3，∴y＝x，

.

利用导数公式求曲线的切线方程

[探究问题] 已知曲线的切线的斜率，如何求切线方程？

提示：先求切点坐标，再求切线方程．

已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

[思路探究]

直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程．

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[解]

因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，

又因为PQ的斜率为k＝1＝. 211所以切点为M2，4. 11所以所求切线方程为y－4＝x－2，即4x－4y－1＝0. 母题探究：1.是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．

[解]

假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，

设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1，

11令2x1＝－1，则x1＝－2，y1＝4，

11切线方程为y－4＝－x＋2，即4x＋4y＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y＝ln x，试求与直线PQ平行的切线方程．

[解]

设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，

1则由f′(a)＝a＝1，得a＝1，故b＝ln 1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

[规律方法]

解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：

(1)切点处的导数是切线的斜率；

(2)切点在切线上；

(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. [当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列结论：

4－1＝1，

2＋14－1＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x02＋1

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其中正确的有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

C

[1，(log3x)′＝xln 3，故②③错误．] 12．质点的运动方程是s＝t4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(

) A．－4×3－4 m/s

C．－5×3－5 m/s

B．－3×3－4 m/s D．－4×3－5 m/s 1－4D

[s＝t4＝t，则s′＝－4t－5，从而s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.] 3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．

x－y＋1＝0

[y′＝ex，y′|x＝0＝e0＝1，故切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.] 4．已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝________. 34

[由题意可知，f′(x0)＝1，

又f′(x)＝2x，所以2x0＝1，

113所以x0＝2，y0＝4，x0＋y0＝4.] 5．求下列函数的导数.

π1x2π(1)y＝cos 6；(2)y＝x5；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos2－x. x[解]

(1)y′＝0. 1(2)∵y＝x5＝x－5，

5∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x6.

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1(4)y′＝xln 10. (5)y′＝5xln 5. π(6)∵y＝cos2－x＝sin x，

∴y′＝(sin x)′＝cos x．

九、教学小结：

1、掌握以下导数公式：

公式1

(c)'0（其中c为常数）；

公式2

(x)'1；

公式3

(kxb)'k（其中k,b为常数）；

公式4

(x2)'2x；

11公式5

()'2

xx。2、了解函数导数的几何意义、物理意义；

3、体会由导数定义推导导数公式的三个步骤。

十、课后作业：

1、

思考：课本第82页的两个探究

2、

作业：习题3.2

A组

1 十一、教学反思(略)

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