小结教学设计实例

第四章《圆与方程》小结与复习

教学目标：

1、知识与技能：

（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；

（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。

3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

重点与难点

重点：各知识点间的网络关系。

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

教学用具：PPT、教案、圆规、支持

课时课型：1课时

新授课

教学过程

知识梳理

1.圆的方程有几种？它的圆心、半径是什么？

2.直线与圆的有几种位置关系？怎样进行判断？

3.圆与圆的有几种位置关系？怎样进行判断？

4.空间两点间的距离公式是什么？

题型

一 圆的方程

例1

根据条件求下列圆的方程：

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．

思考：求圆的方程应先确定圆的什么？ 3x＋2y－15＝0，解:(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由解得3x＋10y＋9＝0x＝7，

y＝－3.

∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.

(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a. 由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42. 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. a2＋b2－10∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2. a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4，b＝－4.

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 方法规律： 求圆的方程需要三个独立条件．待定系数法是求圆的方程的基本方法，当题设中圆心的条件明确时，常设标准方程；当题设中圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式时，常设圆的一般方程．

题型二 直线与圆的位置关系

例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)＋(y－1)＝1的切线，求此切线的方程. 思考：圆的切线与圆有什么位置关系？

解：因为(4－3)＋(－3－1)＝17>1，所以点A在圆外. (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k(x－4).即kx－y－3－4k＝0，

因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，

所以2222|3k134k|k211，即|k4|k21，所以

15.

8k28k16k21,解得k所以切线方程为y3即15x8y360.

(2)若直线斜率不存在，

15(x4),

8圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4. 综上，所求切线的方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 例3.已知圆C1：(x＋3)＋(y－1)＝4.若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程。

思考：由直线被圆截得的弦长可想到什么？

解：由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，

因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d得d2222(3)21。由点到直线的距离公式7,所以直线l的方程为

24|3k14k|1k2，从而k(24k7)0.即k0或ky0或7x24y280。

方法规律：

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．

(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；

(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线，求过点(x0，y0)的圆的切线方程时，要判断点(x0，y0)在圆上还是在圆外，若点(x0，y0)在圆外，则切线有两条，要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

题型

三 圆与圆的位置关系

例4.已知圆C1:x+y+2x-6y+1=0,圆C2:x+y-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

思考：两圆的交点坐标是否满足两圆方程相减所得方程？求圆的弦长应想到什么公式？

解:设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则A,B两点坐标满足方程组

22xy2x6y10,①22xy4x2y110,②

2222①-②得3x-4y+6=0.因为A,B两点坐标都满足此方程,

所以,3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3. 又C1到直线3x-4y+6=0的距离为

d=134363242=. 95924所以,AB=2rd=23, =552222即两圆的公共弦长为24. 5板书设计

第四章《圆与方程》小结与复习

知识点汇总 例1 题型一 例2 题型二 例3 作业布置：课本144页A组1.2.3.4 课后反思：