习题1.1教案设计（一等奖）

命题及其关系、充要条件

四种命题及其关系

1.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A.p∨q

B.p∧q

D.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)

→→→解析

如图，若a＝A1A，b＝AB，c＝B1B，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题.故选A.

答案

A 2.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(

) A.p∧q

B.綈p∧綈q

C.綈p∧q

D.p∧綈q

解析

依题意，命题p是真命题.由x>2⇒x>1，而x>1⇒x>2，因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.

答案

D 3.(2014·陕西，8)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，

否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A.真，假，真

B.假，假，真

C.真，真，假

D.假，假，假

解析

因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.

答案

B 4.(2013·天津，4)已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的2，则其体积缩小到原来的8；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

1③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2相切. 其中真命题的序号是(

) A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

41解析

对于①，设原球半径为R，则V＝3πR3，r＝2R，

3413πR1∴V′＝3π×2R＝6＝8V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，2标准差不一定相等；对于③，圆心(0，0)，半径为2，圆心(0，0)到直线的距离d＝12＝2，故直线和圆相切，故①③正确.

2答案

C π5.(2012·湖南，2)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) πA.若α≠4，则tan α≠1

πC.若tan α≠1，则α≠4

πB.若α＝4，则tan α≠1 πD.若tan α≠1，则α＝4

ππ解析

命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”，故选C.

答案

C

充分条件与必要条件

6.(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

答案

A 7.(2016·北京，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.

答案

D 8.(2015·湖南，2)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由A∩B＝A可知，A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.

答案

C 9.(2015·安徽，3)设p：11，则p是q成立的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

当11，得x>0，∴q⇒/p，故选A.

答案

A 10.(2015·重庆，4)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的(

) 2A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由x＞1⇒x＋2＞3⇒log1(x＋2)＜0，log1(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x22＞1”是“log1(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.

2答案

B 11.(2015·北京，4)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

m⊂α，m∥β⇒/α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件.

答案

B 12.(2015·福建，7)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立.故选B.

答案

B 13.(2015·天津，4)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒

1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.

答案

A 14.(2015·四川，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若3a＞3b＞3，则a＞b＞1，从而有loga3＜logb3成立；若loga3＜logb3，1不一定有a＞b＞1，比如a＝3，b＝3，选B.

答案

B 15.(2014·浙江，2)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.

答案

A 16.(2014·福建，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为2”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0，1)，(－1，0)两点，所以△OAB111的面积S△OAB＝2×1×1＝2，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为2”；若△OAB的11面积为2，则k＝±1，所以“△OAB的面积为2”⇒“k＝1”，所以“k＝1”是1“△OAB的面积为2”的充分而不必要条件，故选A.

答案

A 17.(2013·山东，7)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈p⇒q，因为原命题与其逆否命题是等价命题，其逆否命题为p⇒綈q，但綈q⇒p，故选A.

答案

A

b18.(2012·陕西，3)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋i为纯虚数”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由ab＝0知a＝0或b＝0.当b＝0时，a－bi为实数，充分性不成立，若ab＋i＝a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，此时有ab＝0.故选B.

答案

B