习题2.1教学评价实录

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计

课型：高三理科数学二轮复习课

【2019年考试大纲】

《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲》已经正式公布，考纲中对学生能力的要求有：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 其中对空间想能力的要求是：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 【设计思路】

本节课紧扣2019年理科数学考试大纲，以全国卷近三年理科数学高考题为例题及练习，重点突破高考中有关《空间点、直线、平面之间的位置关系》的小题部分。

【考题统计】

2018·全国卷ⅠT12直线与平面所成角

2018·全国卷ⅡT9异面直线所成的角

2017·全国卷ⅡT10异面直线所成的角

2017·全国卷ⅢT16圆锥及线线所成的角

2016·全国卷ⅡT14空间中的线面关系

2016·全国卷ⅠT11面面平行及异面直线所成角

【考情点击】

1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题。

2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问。

【教学重难点】

重点：能够根据公理和定理正确判断空间中点、直线、平面之间的位置关系，解决综合类问题，掌握异面直线所成角的求解方法。

难点：空间中点、直线、平面的综合类问题

【核心素养考查】

直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力

【教学过程】

一、典例讲练

考点一：空间点、线、面的位置关系判断

例1（2016年Ⅱ卷理14）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，mα，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

【思路方法】判断空间点、线、面位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以借助空间几何体模型，如从长方体或三棱锥等模型中观察点线面的位置关系，也可以借助我们身边的实物，比如笔、桌面、书本等进行模拟，更加直观的呈现出点线面的位置关系。如果要否定一结论，只需找到一个反例即可。

练习1（2013年Ⅱ卷理4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l⊥n，l,ll,则（

）

A.α∥β且l∥α

【答案】D

考点二：异面直线所成的角

例2（2018年Ⅱ卷理9）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(

) 1552A． B． C． D．

5652【答案】C 【思路方法】求异面直线所成角的方法有：①平移法，步骤是：1.用平移把异面直线平移为相交直线，做出异面直线所成角2.证明所作角是异面直线所成角3.利用解三角形求解该角。

②向量法，步骤是：1.建立恰当的空间直角坐标系2.求出相关点的坐标3.求直线的方向向量或平面的法向量4.正确应用公式求解。

BCCC11，ABC120，AB2，练习2（2017年Ⅱ卷理10）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）

A．

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l

3

2 B．15

5

C．10

5

D．3

3【答案】C

考点三：空间点、线、面的综合问题

（2018年Ⅰ卷理12）

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【思路方法】本题主要考查直线与平面所成角、截面面积的最值问题，破解此类问题需：(1)认真审题，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；(2)懂得转化，即把面面关系问题转化为线面关系问题，再把线面关系问题转化为线线关系问题，通过转化，把问题简单化。 练习3（2016年Ⅰ卷理11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，平

面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（ ）

A.1323 B. C. D.

3223【答案】A

二、备选练习

1.（2018·全国卷文Ⅰ）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(

) A．8

B．62 C．82

D．83 【答案】C 【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，所以BC1＝23，从而求得CC1＝22，所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝82。

2.（2017年Ⅲ卷理16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边

AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母

线，由ACa,ACb，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以

过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，DE∥b，连结AD，等腰△ABD中，ABAD2,

当直线AB与a成60°角时，故BD2，又在Rt△BDE中，BE2,DE2，ABD60，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知BFDE2,△ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60°角，②正确，①错误。由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.

3.

（拓展题）(2018·成都诊断)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD＝2，AA1＝3，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC＝2QP，则线段BQ的长度的最大值为________。

【答案】6 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(1,0，3)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因为QC＝2QP，所以x2y22(x1)2y23⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒

2|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，BQ＝(x2)2y24(y2)2(y2)2＝4－8y，根据

2－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6。

三、课堂总结

本节课以全国卷近三年理科数学高考题为例题及练习，重点突破高考中有关《空间点、直线、平面之间的位置关系》的小题部分，主要学习了空间点线面位置关系的判断，异面直线所成角的求解方法，以及点线面位置关系的综合问题，通过空间上的位置关系锻炼学生的空间想象能力，把空间问题转化为平面问题的转化与化归的能力和运算求解能力。