1.2.1 充分条件与必要条件教学设计第一课时

年级：高一

课

时

数：

1 课时

学科教师：梁承勇

教学内容

1.5 充分与必要条件

1．理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念；

学习目标

2. 能在具体背景下，分辨充分条件、必要条件、充要条件之间的区别与联系；

3. 掌握充分条件、必要条件、充要条件的证明。

重点：充分条件、必要条件的概念

教学重难点

难点：判断命题的充分条件、必要条件

一、知识精讲

知识点一

充分条件、必要条件

命题“若p，则q”

为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．

换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq．

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件

知识点二

充要条件

1. 充要条件

一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出命题也成立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件。

如果既有，又有，即有：，那么我们就说是的充分必要条件，简称：充要条件。

2. 四种命题形式

如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件；

如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件；

如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；

若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

二、例题分析

【例1】设条件甲：实数x,y满足2xy40x1x,y，条件乙：实数满足，那么甲是乙的（ ）

0xy32y3A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

解：B

【例2】已知p：x1,x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的（ ）

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解： ∵x1，x2 是方程x2＋5x－6＝0的两根，

∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．

[来源:学科网ZXXK]

[来源:学科网]

因此选A．

【例3】判断下列各命题中p是q成立的什么条件：

（1）p:x1或y2；q:xy3；

（2）已知A{1,2,3,4,5,6}，p:xA；q:6xA。

解：（1）必要非充分条件；（2）既不充分也不必要条件

【例4】当a,bR时，"a2b20"是"ab0"的什么条件，并说明理由。

解：充分非必要条件：理由a2b20a0且b0ab0，所以条件充分；

a1且b0时，ab0，但a2b20，所以条件不必要。

三、课堂练习 1. 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；

（2）若f(x)x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q． 解略．

2. 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若ab，则acbc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q． 解略．

3. "x1"是"x1"的（ A ）

A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

4. "xyxy"是"xy0"的（ B ）

A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

5. 对任意的实数a,b,c，给出下列命题：

①"ab"是"acbc"的充要条件；

②“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③"ab"是"a2b2"的充分条件；

④"a5"是"a3"的必要条件。

其中真命题的个数为（ B ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. “pAB”是“pAB”的____________条件。

解：充分非必要

7. “x1”的__________条件是“解：必要非充分

8. “如果两个实数之积是有理数，那么这两个数都是有理数”的等价命题是______________________。

11”。

x

解：如果两个数实数不都是有理数，那么这两个数之积不是有理数。

9. 命题“xM或xP”是命题“xMP”的什么条件？

P”的必要条件。

解：命题“xM或xP”是命题“xM10. 写出命题“x3”的一个充分条件

，一个必要条件。

解：充分x5

；

必要x2。

四、作业

1. “(x2)(x1)0”是“x20或x10”的（ B ）

A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

2. 已知p:2x31，q:x(x3)0，则p是q的（ A ）

A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

3. 如果BA成立，且AB不成立，则条件B是结论A成立的（ B ）

A.

充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充要条件 D.

既不充分也不必要条件

4. p是q的充要条件的是（ ）

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解

分析 逐个验证命题是否等价．

解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；

对B．p对C．pq但qq且qp，p是q的充分非必要条件；

p，p是q的必要非充分条件；

[来源:学科网ZXXK]

对D．pq且qp，即pq，p是q的充要条件．选D．