阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用优秀教案设计

第八章

圆锥曲线

知识结构

高考能力要求

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

高考热点分析

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和"设而不求"的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

高考复习建议

1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为"一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹"，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．

2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破"运算关",要寻求合理有效的解题途径与方法．

3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．

4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．

８．1 椭

圆

知识要点

1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的

，

之间的距离叫做焦距．

注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是

．

②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到

的距离与到

的距离之比是常数，且

的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的

，定直线l是

，常数e是

．

2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且

)

(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：

．

3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)

(1) 范围：

≤

x ≤

，

≤

y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为

；对称中心为

．

(3) 顶点坐标：

，焦点坐标：

，长半轴长：

，短半轴长：

；准线方程：

．

(4) 离心率：

( 与

的比)，

，越接近1，椭圆越

；越接近0，椭圆越接近于

．

(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则

，= ．

(6) 椭圆的参数方程为

．

4．焦点三角形应注意以下关系：

(1) 定义：r1＋r2＝2a

(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2

(3) 面积：＝r1r2 sin＝・2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝) 例题讲练

【例1】

中心在原点，一个焦点为F1(0，5)的椭圆被直线y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程．

【例2】

已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：

(1) 椭圆的方程；

(2) △PF1F2的面积．

【例3】如图，射线OA、OB分别与x轴、

y轴所成的角均为；已知线段PQ的长度为2，并且保持线段的端点在射线OA上运动，点在射线OB上运动

(1) 试求动点的轨迹C的方程

(2) 求轨迹C上的动点N到直线的距离的最大值和最小值．

【例4】

（2005年全国卷I）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与＝(3, －1)共线.

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 设M是椭圆上任意一点，且＝(、∈R)，证明为定值.

小结归纳

1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．

2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型--确定曲线形状；定位--确定焦点位置；定量--由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．

3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是．

4．"设而不求"，"点差法"等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．

5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．

基础训练题

一、选择题

1．

动点M到定点和的距离的和为8，则动点M的轨迹为

（

）

A．椭圆

B．线段

C．无图形

D．两条射线

2．

(2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

（

）

A．

B．

C．2－

D．－1 3．

（2004年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（

）

A．2个

B．4个

C．无数个

D．不确定

4．

椭圆的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

（

）

A．32 B．16

C．8 D．4 5．

已知点P在椭圆(x－2)2＋2y2＝1上，则的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．

6．

我们把离心率等于黄金比的椭圆称为"优美椭圆"，设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于

（

）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

7．

椭圆的顶点坐标为

和

，焦点坐标为

，焦距为

，长轴长为

，短轴长为

，离心率为

，准线方程为

．

8．

设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1，2，)，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|...组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是

．

9．

设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则得

．

10．若椭圆＝1的准线平行于x轴则m的取值范围是

．

三、解答题

11．根据下列条件求椭圆的标准方程

(1) 和椭圆共准线，且离心率为．

(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

12．椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当∠为钝角时，求点P横坐标的取值范围．

13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B、M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝．

(Ⅰ)证明：＝1－e2；

(Ⅱ)若＝，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；

(Ⅲ)确定的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

提高训练题

14．(2006年高考湖南卷)已知C1：，抛物线C2：(y－m)2＝2px (p＞0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)若p＝，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量＝(1, 0)，＝(0, 1)，＝(x＋m)＋y，＝(x－m)＋y，且||＋||＝6，0< m < 3，x>0，y∈R．

( I )求动点P(x，y)的轨迹方程；

( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y＝(x－2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得＝？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

8．2 双

曲

线

知识要点

1．双曲线的两种定义

(1) 平面内与两定点F1，F2的

常数(小于

)的点的轨迹叫做双曲线．

注：①当2a＝|F1F2|时，p点的轨迹是

．

②2a＞|F1F2|时，p点轨迹不存在．

(2) 平面内动点P到一个定点F和一条定直线l (F不在上)的距离的比是常数e，当

时动点P的轨迹是双曲线．

设P到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则

2．双曲线的标准方程

(1) 标准方程：，焦点在

轴上；，焦点在

轴上．其中：a 0，b 0，

．

(2) 双曲线的标准方程的统一形式：

3．双曲线的几何性质(对进行讨论)

(1) 范围：

，

．

(2) 对称性：对称轴方程为

；对称中心为

．

(3) 顶点坐标为

，焦点坐标为

，实轴长为

，虚轴长为

，准线方程为

，渐近线方程为

．

(4) 离心率= ，且

，越大，双曲线开口越

，越小，双曲线开口越

，焦准距P＝

．

(5) 焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点，

，

，若是双曲线左支上任意一点，

，

．

(6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为

(7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为

，离心率为

(8) 的共轭双曲线方程为

．

例题讲练

【例1】

根据下列条件，写出双曲线的标准方程

(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．

(2) 与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

．

【例2】

（04年高考湖北卷）直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【例3】

在双曲线的一支上有不同的三点A(x1，y1)，B(x2，6)，C(x3，y3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．

(1)求y1＋y3；

(2)求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．

【例4】

（2004年高考全国卷II）设双曲线C：与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点．

(1) 求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2) 设直线l与y的交点为P，且＝，求a的值．

小结归纳

1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系．

2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．

3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．

4．求双曲线的方程的常用方法：

(1) 定义法．

(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是"设而不求"．

5．例2的第(1)问是数材P132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．

6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意"数形转化""数形结合"，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从"形"的角度来判断．

基础训练题

一、选择题

1．

A、B是平面内两定点，动点P到A、B两点的距离的差是常数，则P的轨迹是

（

）

A．双曲线

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．不能确定

2．

（04年高考湖南卷）如果双曲线上一点p到右焦点的距离等于，那么点p到右焦线的距离是

（

）

A．

B．13

C．5 D．

3．

已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为

（

）

A．

B．

C．

D．

4．

（2005年高考湖南卷）已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右焦线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为，（0为原点）则两条渐近线的夹角为

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

5．

已知双曲线，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有

（

）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

6．

(2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x2－9y2＝144的右焦点为F2，M是双曲线上任意一点，点A的坐标为（9，2），则|MA|＋|MF2|的最小值为（

）

A．9 B．

C．

D．

二、填空题

7．

中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为的双曲线方程为

．

8．

(2004年高考・吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为

．

9．

（2006年高考湖南卷）过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是

．

10．可以证明函数(b≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C：的离心率e等于

．

三、解答题

11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；

(2) 已知双曲线的右准线为x＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e＝2，求双曲线的方程．

12．中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．

13．双曲线的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．

提高训练题

14．已知动点p与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－．

(1) 求动点p的轨迹方程；

(2) 若已知点D(0，3)，点M、N在动点p的轨迹上且，求实数的取值范围．

15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C：上一定点P()及曲线C点上两个动点A、B，满足

(1) M、N分别为PA、PB中点，求证：(O为坐标原点)；

(2) 求|AB|的最小值及此时A点坐标．

8．3 抛

物

线

知识要点

1．抛物线定义：平面内到

和

距离

的点的轨迹叫抛物线，

叫抛物线的焦点，

叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．

2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程

①

，焦点为

，准线为

．

②

，焦点为

，准线为

．

③

，焦点为

，准线为

．

④

，焦点为

，准线为

．

3．抛物线的几何性质：对进行讨论．

①

点的范围：

、

．

②

对称性：抛物线关于

轴对称．

③

离心率

．

④

焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则

．

⑤

焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)

i) 若，，则＝

，

．

ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝

．

特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝

．

iii) S△AOB＝

（表示成P与θ的关系式）．

iv) 为定值，且等于

．

例题讲练

【例1】

已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．

【例2】

已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．

(1) 若，求直线l的方程．

(2) 求的最小值．

【例3】

若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．

【例4】

（05全国卷(Ⅲ)）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．

(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？

(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．

小结归纳

1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．

2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．

3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．

4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．

基础训练题

一、选择题

1．

过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于

（

）

A．2P B．4P

C．6P D．8P 2．

已知动点满足＝，则P点的轨迹是

（

）

A．两条相交直线

B．抛物线

C．双曲线

D．椭圆

3．

已知抛物线与抛物线关于直线

对称，则的准线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．

4．

（2005年高考上海卷）过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（

）

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条

C．有无数条

D．不存在

5．

(2003年新课程卷)抛物线的准线方程是，则a的值为

（

）

A．

B．

C．8 D．

6．

（04年高考湖北卷）与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是

（

）

A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

二、填空题

7．

点M与点F(4，0)的距离比它到连线l：x＋5＝0的距了小1，则点M的轨迹方程为

．

8．

某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为

米(精确到0.1米)．

9．

过点（3，3）的直线与抛物线y2＝3x只有一个公共点，则这样的直线的条数为

．

10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是

三、解答题

11．求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．

12．正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．

13．设A和B为抛物线y2＝4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

提高训练题

14．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，试问：以AB为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆或双曲线，结果又如何呢？

15．(2004年高考上海卷)如图，直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线交于Q点．

(1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB(含点A、B)下方的动点时，求面积的最大值．

8．4 直线与圆锥曲线的位置关系

知识要点

1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）

2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=--------或：---------．

利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．

当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．

3．中点弦问题：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则

两式相减可得

即

．

对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．

例题讲练

【例1】

直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．

(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？

(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？

【例2】

已知双曲线方程2x2－y2＝2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；

(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

【例3】

在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

【例4】

（2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．

(1) 求t表示△ABC的面积S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

小结归纳

1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．

2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是"设而不求"的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．

3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．

基础训练题

一、选择题

1．

曲线x2＋4y2＋Dx＋2Ey＋F＝0与x轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是

（

）

A．D≠0，E＝0，F＞0

B．E＝0，F＜0

C．D2－F＞0

D．F＜0 2．

若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为

（

）

A．2 B．－2

C．

D．－

3．

经过抛物线的所有焦点弦中，弦长的最小值为

（

）

A．p B．2p

C．4p D．不确定

4．

过双曲线的右焦点作直线l，交双曲线于A、B两点，若AB=4，则这样的直线l有（

）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

5．

（华师大二附中2005年模拟试卷2）

直线l：y＝kx＋1(k≠0)椭圆E：，若直线l被椭圆E所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E截得的弦长不是d的是

（

）

A．kx＋y＋1＝0 B．kx－y－1＝0

C．kx＋y－1＝0 D．kx＋y＝0 6．

椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M、N两点，过两点O与线段MN之中点的直线的斜率为，则的值是

（

）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

7．

已知直线x－y＝2与抛物线y2－4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 . 8．

对任意实数k，直线y＝kx＋b与椭圆

(0≤＜2)恒有公共点，则b的取值范围是

．

9．

已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标为（0，2），则＝

．

10．若直线mx＋ny－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，则m、n的关系式为___________;以(m，n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有____个.

三、解答题

11．已知直线l交椭圆＝1于M、N两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l的方程. 12．已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 13．（05重庆）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B的满足(其中O为原点)，求k的取值范围．

提高训练题

14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．

⑴

求椭圆的方程；

⑵

设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M、N，当时，求m的取值范围．

15．（04湖南）过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)，作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为，证明：；

(Ⅱ)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

8．5 轨

迹

方

程

知识要点

1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．

2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．

例题讲练

【例1】

一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

【例2】

已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．

【例3】

已知直线l与椭圆(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．

【例4】

已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足＝0，．

(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；

(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

小结归纳

1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．

2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．

3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．

4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x，y的参数方程，以便消参，选择n个参数，要建立n＋1个方程，消参时，要注意等价性．

5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．

基础训练题

一、选择题

1．

已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得| PQ |＝| PF2 |，那么动点Q的轨迹是

( )

A．圆

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．抛物线

2．

动点P与定点的连结的斜率之积为，则P点的轨迹方程是

( )

A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1

C．x2＋y2＝1 D．

3．

已知动点P(x、y)满足10＝|3x＋4y＋2|，则动点P的轨迹是

（

）

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．无法确定

4．

设P为椭圆上一点，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是（

）

A．直线

B．抛物线

C．圆

D．双曲线

5．

设P为双曲线

上一点，

过右焦点F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是

（

）

A．圆

B．抛物线

C．直线

D．椭圆

6．

已知点P(x，y)在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x＋y，xy)的轨迹是

（

）

A．半圆

B．抛物线的一部分

C．椭圆

D．双曲线的一支

二、填空题

7．

长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB中点的轨迹方程为

．

8．

经过定点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程

．

9．

已知抛物线，当m变化时抛物线焦点的轨迹方程为

．

10．（04北京）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是

．

三、解答题

11．以动点P为圆心的圆与圆A：(x＋5)2＋y2＝49及圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切，求动点P的轨迹. 12．已知双曲线＝1(m＞0，n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.

(1) 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

(2) 当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率. 13．设直线l：y＝kx＋1与椭圆C：ax2＋y2＝2(a＞1)交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．

(1)若k＝1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；

(2)若a＝2，当k变化时，(k∈R)，求点P的轨迹方程．

提高训练题

14．设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

(1) 动点P的轨迹方程；

(2) 的最小值与最大值. 15．如图，给出定点A(a，0)()和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系．

8．6 圆锥曲线中的最值、定值问题

知识要点

圆锥曲线的某个量随着动点或参数的变化而取得最大值或最小值的一类问题，叫做圆锥曲线的最值问题；而圆锥曲线的某个量随着动点或参数的变化而始终不变的一类问题，叫做圆锥曲线的定值问题．解决圆锥曲线的最值、定值问题，常用方法有代数法和几何法：

一、代数法：先建立"目标函数"，然后根据目标函数的特点，选择配方法、判别式法、基本不等式法、三角法等求解．

二、几何法：利用图形本身的几何性质及圆锥曲线的定义进行求解，常用的处理方法有：

1．利用圆锥曲线的第二定义转化为直线求有关最值．

2．利用圆锥曲线的第一定义结合对称的有关结论，求到两定点的距离的和、差的最值．

3．利用平几中的有关结论求最值．

例题讲练

【例1】

已知A(4,0)，B(2,2),点P在椭圆上，求：

(1) 的最大值与最小值；

(2) 的最小值．

【例2】

已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0，5)，求点P到椭圆的距离的最大值、最小值．

【例3】

椭圆

(a > b > 0)与直线x＋y＝1＝0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．

(1) 求证：等于定值；

(2) 若椭圆离心率[]时，求椭圆长轴的取值范围．

【例4】

如图，A、B是两个定点，且|AB|＝2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于P，直线k垂直于直线AB，且B到直线k的距离为3．

⑴

求证：点P到B点的距离与点P到直线k的距离之比为定值；

⑵

若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求点P的坐标．

小结归纳

1．圆锥曲线中最值的求法常用方法有二：代数法、几何法．若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；若题目中的条件和结论能体现

一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．求函数的最值常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性，也可以利用导数求解．

2．圆锥曲线的定值问题的求解，同最值问题类似，若在求定值之前不知道定值的结果(题中未告知)，可采用特殊值或特殊位置的办法初步推得定值，解题时可大胆设参，运算推理到最后，必定参数统消，定值显现．

基础训练题

一、选择题

1．

已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，动点P满足，O为AB的中点，则| PO |的最小值为

（

）

A．1 B．

C．2 D．3 2．

过抛物线y2＝4x的焦点作弦AB，则△OAB的面积的最小值是

（

）

A．1 B．2

C．

D．4 3．

若点(x，y)在椭圆4(x－2)2＋y2＝4上，则的最小值为

（

）

A．1 B．－1

C．

D．以上都不对

4. 双曲线的离心率为,双曲线的离心率为，则的最小值为

（

）

A．

B．2

C．

D．4

5．

已知点A(0，－3)和B(2，3)，点P在抛物线y＝x2上，当△PAB的面积最小时，点P的坐标是

（

）

A．(1，1) B．

C．

D．(2，4) 6．

设椭圆的右焦点为F，过点E(－，0)任作直线与椭圆交于A、B，构成△FAB，则△ABF的周长

（

）

A．变化不定

B．6

C．12 D．8

二、填空题

7．

椭圆与圆有公共点，则半径r的最大值为___________，最小值为_____________. 8．

设A(1，3)，F为椭圆的左焦点，点M在椭圆上运动，当|AM|＋2|MF|取最小值时，点M的坐标是 . 9．

曲线kx2＋2ky2＋(2k＋m)x＋m＝0，无论k、m为何实数值都必过两定点，则这两定点的坐标是-------．

10．(2005年临沂期末)经过抛物线y＝x2的焦点作直线交抛物线于A(x1、y1)、B(x2、y2)两点，若y1＋y2＝5，则线段AB的长等于 .

三、解答题

11．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短．

12．已知抛物线y2＝8x，M(5，0)，以M为圆心，1为半径作圆M，在圆M上任取一点Q，在y2＝8x上任取一点P，求|PQ|的最小值及|PQ|取得最小值时P的坐标．

13．在直线上任取一点P,过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆．

⑴

P点在何处时，所求椭圆的长轴最短；

⑵

求长轴最短时的椭圆方程．

提高训练题

14．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且

AB＝AC＝a，BC＝2b．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图) ⑴

若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

点P应位于何处？

⑵

若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

15．已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限的弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，

(1) 求P点坐标；

(2) 求证直线AB的斜率为定值；

(3) 求△PAB面积的最大值．

单

元

测

试

一、选择题

1．

中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是

（

）

A．

B．

C．

D．

2．

AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是

（

）

A．2 B．

C．

D．

3．

若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．4 D．

4．

已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（

）

A．

B．

C．

2 D．3 5．

(2005年高考全国卷III) 已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为

（

）

A．

B．

C．

D．

6．

(2005年高考江苏卷)点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

7．

椭圆上有n个不同的点：P1，P2，...，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是

（

）

A．198 B．199

C．200 D．201 8．

过点(4, 0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是

（

）

A．| k |≥1 B．| k | >

C．| k |≤

D．| k | < 1

9．

已知θ为三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示

（

）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

10．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（

）

A．e1 > e2 > e3 B．e1 < e2 < e3

C．e1＝e2 < e3 D．e1＝e2 > e3 二、填空题

11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 . 12．双曲线3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向量＝

．

13．P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是---------．

14．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 . 15．(2005年高考江西卷)以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①

设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；

②

过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；

③

方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④

双曲线与有相同的焦点．

其中真命题的序号为

（写出所有真命题的序号）．

三、解答题

16．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求双曲线的方程．

17．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切.

(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；

(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.

18．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．

(1) 写出直线的截距式方程；

(2) 证明：；

(3) 当时，求的大小．

19．设x，y∈R，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8

(I) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．

(II) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．

20．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A′：(x－)2＋y2＝12相切．

(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．

21．（2005年高考辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足＝0，≠0．

(1) 设x为点P的横坐标，证明；

(2) 求点T的轨迹C的方程；

(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2 ？若存在，求∠F1MF2的正切值，若不存在，请说明理由．