2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案教学设计导入整理

1.2.4

平面与平面的位置关系

第1课时

两平面平行

1．了解平面与平面的两种位置关系．了解两个平面间的距离的概念．(重点) 2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．(重点、难点) [基础·初探]

教材整理1

平面与平面之间的位置关系

阅读教材P43中间部分，完成下列问题．

平面与平面之间的位置关系

位置关系

平面α与平面β相交

平面α与平面β平行

公共点

符号表示

图形表示

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：

有一条公共直线

α∩β＝a 没有公共点

α∥β

图1－2－74 (1)平面AB1与平面D1C________；

(2)平面BD1与平面AC1________；

(3)若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；

(4)平面D1C1HG与平面ABFE________. 【答案】

(1)平行

(2)相交

(3)相交

(4)平行

教材整理2

平面与平面平行的判定

1

阅读教材P43～P44例1部分内容，完成下列问题．

自然语言

符号语言

图形语言

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．(×) (2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．(√) (3)平行于同一条直线的两个平面平行．(×) (4)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．(×) (5)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．(√) 教材整理3

平面与平面平行的性质定理

阅读教材P44例1以下部分内容，完成下列问题. 自然语言

符号语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β

图形语言

平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：

①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．

其中可能出现的情况有________种．

【解析】

只有a，b相交不可能．

【答案】

3 教材整理4

两个平行平面间的距离

2

阅读教材P45中间三自然段，完成下列问题．

公垂线与公垂线段

(1)与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段．

(2)两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．

在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．

图1－2－75 【解析】

∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，

∴平面EFGH∥平面ABCD，

∵PA⊥平面AC，

∴PA⊥平面EG，

∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，

1EA＝2PA＝1. 【答案】

1 [小组合作型]

面面平行判定定理的应用

如图1－2－76，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．

图1－2－76

3

求证：(1)E，F，B，D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB. 【精彩点拨】

解答本题第(1)问，只需证BD∥EF即可．第(2)问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．

【自主解答】

(1)连结B1D1，

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1，

而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面．

(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，

∴MN∥平面EFDB.连结DF，MF. ∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM⊄平面EFDB. DF⊂平面EFDB，

∴AM∥平面EFDB. 又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB. 证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识

[再练一题]

1．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别

4

在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

图1－2－77

如图1－2－78所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．

[再练一题]

2.如图1－2－79所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：l1∥l2.

图1－2－79 [探究共研型]

面面平行关系的综合应用

探究1

过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？

【提示】

当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．

探究2

平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？

如图1－2－80所示，AB，CD是夹在平行平面α，β之间的异面线

5

AECF段，且A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且EB＝FD.求证：EF∥平面β.

[再练一题]

3．如图1－2－81所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.

图1－2－81 1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．【答案】

平行或相交

2．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是____________．

①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；

②l⊂α，m⊂β，且l∥m；

③l⊥α，m⊥β，且l∥m；

④l∥α，m∥β，且l∥m. 【答案】

③

3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________. 【答案】

平行或相交

4．下列条件中，能使α∥β的条件是________．(填序号) ①平面α内有无数条直线平行于平面β；②平面α与平面β同时平行于一条直线；③平面α内有两条直线平行于平面β；④平面α内有两条相交直线平行于平面β.【答案】

④

6