复习参考题教学目标设计

题目两直线的位置关系复习

高考要求

掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，两条直线的夹角公式和到角公式，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式 知识点归纳

1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直

2．斜率存在时两直线的平行与垂直：

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2k1=k2且b1b2

王新敞王新敞已知直线l1、l2的方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)

ABCl1∥l2的充要条件是111

A2B2C2王新敞⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k21．

已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20．

3直线l1到l2的角的定义及公式：

直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角

l1到l2的角：0°＜＜180°，

kk1如果1k1k20,即k1k21,则.如果1k1k20，tan2

21k2k14．直线l1与l2的夹角定义及公式: l1到l2的角是1,

l2到l1的角是π-1,当l1与l2相交但不垂直时, 1和π-1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是夹角：0°＜≤90°

2kk1如果1k1k20,即k1k21,则.如果1k1k20，tan2

1k2k12王新敞王新敞王新敞5．两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：

A1xB1yC10是否有惟一解

AxByC0222王新敞6．点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By0CAB22

7．两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

AB8

直线系方程:若两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1xB1yC1)＋(A2xB2yC2)0或(A2xB2yC2)+(A1xB1yC1)0

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C222

王新敞(λ为常数)

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题型讲解

例1 点P(4,0)关于直线5x4y210的对称点是

A（－6，8）

B(－8，－6)

C（6，8）

D（－6，－8）

解：设点P(4,0)关于直线5x4y21的对称点为P01(x1,y1)，由轴对称概念PP1的中点M(x14y10,)在对称轴5x4y210上，且PP1与对称轴垂直，则有

22x14y15422210y14

解得x6,y8,P(6,8)，故选D x451111点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题

例2

在ΔABC中，BC边上的高所在的直线方程是x─2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标

解：由x2y10A(─1,0)又kAB=1, ∵

x轴是∠A的平分线,

y0∴kAC=─1,∴AC: y=─(x+1), 又kBC=─2, ∴BC: y─2=─2(x─1)

2xy40由C(5,─6)

xy10点评：分析出图形，是此题的要点

例3 已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程

解：直线BC的斜率kBC＝－2，∵直线AC与直线BC3kABkBC1,1kABkBCkAB13AC的方程为y－4＝（x－5）2231

3x－2y－7＝0ABC＝452kAB311∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（x－5）或y－4＝－5（x－5）

55即x－5y＋15＝0或5x＋y－29＝0

说明：此题利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程

kAB＝－5或kAB＝王新敞例4 求证：不论m为什么实数，直线(m1)x(2m1)ym5都通过一定点

1，得直线方程为x＝9 2从而得两条直线的交点为(9，－４），又当x＝9，y＝－４时，有

9(m1)(4)(2m1)ym5

即点(9，－４）在直线(m1)x(2m1)ym5上，

故直线(m1)x(2m1)ym5都通过定点(9，－４）

证法二：∵(m1)x(2m1)ym5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0，

则直线(m1)x(2m1)ym5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点

x2y10由方程组，解得x＝9，y＝－４，即过点(9，－４）

xy50所以直线(m1)x(2m1)ym5经过定点(9，－４)

证法三：∵（(m1)x(2m1)ym5，

∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5 证法一：取m＝1，得直线方程y＝－４；再取m＝第2页

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由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为R，

x2y10，解得x＝9，y＝－４

xy50所以直线(m1)x(2m1)ym5都通过定点(9，－４）

例5 k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限

1212k1212k0x2ykx3k24k14k1解：由＜k＜1

得x4y407k27k27y04k14k1∴王新敞2＜k＜1时，两直线的交点在第一象限

7说明：k为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，而后解不等式组即得k的范围

例6 若abc0，求证直线axbyc0必经过一个定点

证明：由abc0，且a,b不同时为0，设b≠0，则a(bc)

即当代入直线方程axbyc0，得(x－y）＋c（x－1）＝0

b此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程

xy0解方程组得x＝1，y＝1 x10即两直线交点为(1，1），故直线axbyc0过定点(1，1)

点评：以上例题是直线系的应用问题

王新敞例7 光线由点A(1,4)射出，遇到直线l：2x3y60后被反射，已知其B(3,所在直线的方程

62)，求反射光线13y0A3,x12解：设点A关于l的对称点为A(x0,y0)，则0

2x013y04602229x,3x02y0110013解得即

2x3y202800y0.136228621313所求直线方程为y(x3)，即13x26y850

2913313王新敞点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题

例8 求直线l1:2x+y-5=0,l2: x+3y-4=0的夹角，l1到l2的角1，l2到l1的角2

王新敞解：由两条直线的斜率k1=-2,k2=-1，得

312k2k1331.，tan1＝1，1＝，2=π-＝tan=

21k1k2444413第3页

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点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于

π

例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：

l1:x+3y-4=0, l2:5x+2y+6=0

x3y40x2,所以l1与l2的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,得5x2y60y2y3x2,即x-4y+10=02322解法二:可设所求直线方程∵点(2，3)在直线上

x+3y-4+λ(5x+2y+6)=0(λ∈Rλ＝－

∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝07

22x+3y-4+(- (1)y＝7)(5x+2y+6)=022x-4y+10=0

例10 求点P（3，－2）到下列直线的距离：

31（2）y＝6；（3）y轴

x；4431解：(1)把方程y＝x写成3x－4y＋1＝044d＝334(2)132(4)218 5(2)因为直线y=6平行于xd＝｜6－（－2）｜＝83）d＝｜3｜＝3

说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，x=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜

例11

求与直线l：5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程

解：设所求直线的方程为5x-12y+c=0在直线5x-12y+6=0上取一点P（，点P0到直线5x-12y+c=000，）1212的距离为d=21c2213135(12)所以所求直线的方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0

说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离

例12

已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程156解：正方形中心G(－1，0)

221013设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y－c1＝0

1c16则，即｜c1＋1｜＝６解得c1＝5或c1＝7

1010故与已知边平行的直线方程为x+3y+7=0

3x－y＋c2＝0

3(1)c26则，即｜c2－3｜＝6c2＝9或c2＝－3

10103x-y+9=0和3x-y-3=0

综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：x+3y+7=0、3x-y+9=0、3x-y-3=0

说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程

小结：

1．数形结合是解析几何的突出特点，在解解析几何题时应予以足够重视，并注意利用平面几何知识c6，由题意得c6=2所以c=32或c=-20

王新敞王新敞第4页

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加以简化; 2．解析几何问题往往在解题时入手的地方较多，但不同的解法繁简程度则大有区别，故在平时训练中应注意采用一题多解的方法，这样做一可以训练基本技能，二有利于开拓思路，优化解题方案

3直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况

4在解析几何中，设而不求往往是简化计算的重要方法之一

5在两条直线的位置关系中，讨论最多的是平行与垂直，在两条直线的夹角公式tank1k2中，1k1k2当分子为0时，两条直线斜率相等，平行；当分母为0时，tan不存在，＝90，垂直

学生练习

01．到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合是(D

) 5A直线2x+y－2=0

B直线2x+y=0 C直线2x+y=0或直线2x+y－2=0

D直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 2点P(m－n,－m)到直线xy=1的距离等于(A ) mnAm2n2

B

m2n2 C

m2n2

Dm2n2

3若A(sinθ，cosθ）、B（cosθ，sinθ）到直线xcosθ+ysinθ+p=0(p＜－1)的距离分别为m、n，则m、n的大小关系是(

A

) Am≥n

Bm≤n

Cm＞n

Dm＜n

4已知点(3，m)到直线x+3y－4=0的距离等于1，则m等于(D ) 33

D

3或－

335直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是(C

) A

3

B－3

C－A4x+y－6=0

Bx+4y－6=0 C3x+2y－7=0或4x+y－6=0

D2x+3y－7=0或x+4y－6=0 6点P(x,y)到直线5x－12y+13=0和直线3x－4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是(A) A32x－56y+65=0或7x+4y=0

Bx－4y+4=0或4x－8y+9=0 C7x+4y=0

Dx－4y+4=0 7已知直线l1：A1x+B1y+C1＝0与直线l2：A2x+B2y+C2＝0相交，则方程λ（＋λ（1A1x＋B1y＋C1）2A2x+B2y+C2）2=0,(122≠0)表示(A ) A过l1与l2交点的一切直线B过l1与l2的交点，但不包括l1可包括l2的一切直线

C过l1与l2的交点，但包括l1不包括l2的一切直线

D过l1与l2的交点，但既不包括l1又不包括l2的一切直线

8方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(A ) A恒过定点(－2,3)

B恒过定点(2，3)

C恒过点(－2,3)和点(2，3)

D都是平行直线

9点(3，9)关于直线x+3y－10=0对称的点的坐标是(

A

) A(－1,－3)

B(17,－9)

C(－1,3)

D(－17,9) 10下列直线中与直线y+1=2x平行的直线是(A ) 3A2x－3y+m=0(m≠－3)

B2x－3y+m=0(m≠1) C2x+3y+m=0(m≠－3)

D2x+3y+m=0(m≠1) 11已知M(1，0)、N(－1，0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是(A ) A［－2,2］

B［－1，1］

C［－11，］

D［0，2］

2212．已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是( B ) A[─1,1]

B[0,1]

C[─1,0]

D[0,+∞)

13 直线l经过原点和点（1,1），则它的倾斜角是（

）

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55

B

C

或

D



答案：A 4444414两平行直线y2x和y2x5间的距离是（

）

AA535

B5

C

D

222答案：B解析：化成一般式，由平行线距离公式dC1C2AB22

15如果直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于

12

C

D2答案：D解析：直线互相垂直，k1k21

3316两直线x3y20与3x3y40的夹角是（

）

A1

B0000A30

B60

C90

D

120答案：B解析：tank2k1

1k1k217．已知直线2x+y─2=0和mx─y+1=0的夹角为π/4, 那么m的值是

(─1/3或3 )

5过点A(3，0)，且平行于直线2x3y0的直线方程是_________答案：2x3y60

18点（2，5）关于直线xy0的对称点的坐标是_________答案：（－5，－2）

19直线y=k(x－1)(k∈R)表示经过点到

且不与

垂直的直线答案：(1，0)；x轴

20若方程(6a2－a－2)x+(3a2－5a+2)y+(a－1)=0表示平行于y轴的直线，则a的值

答案：不存在

3x，在两直线的上方有一点P，过P分别作l1、l2的垂线，垂足为A、3B已知｜PA｜＝22，｜PB｜＝23

求(1)P点坐标；(2)｜AB｜的值

21已知直线l1：y=x与l2：y=－王新敞答案：(1)(0，4)

（2）62

22三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(－4,7)，求角A的平分线方程答案：7x+y－29=0 王新敞23已知一直线l被两直线l1：3x+4y－7=0和l2：3x+4y+8=0截得的线段长为15且l过点P(2，3)，求直线l4的方程

答案：x=2或7x－24y+58=0

24两平行线l1、l2分别过点P1（1，0）与P2（0，5），(1)若l1与l2距离为5，求两直线方程；(2)设l1与l2之间距离是d,求d的取值范围

王新敞王新敞答案：(1)

l1的方程为y=0或5x－12y－5=0

l2的方程为y=5或5x－12y+60=0

(2)（0，26］

25直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状

答案：C(2，4)；直角三角形

课前后备注

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