1.2.1 充分条件与必要条件教学目标

1.2.1 充分条件与必要条件

教学目标：

1.理解推断符号“”的含义

2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用

3.培养学生的逻辑推理能力

教学重点：

充分条件、必要条件的判断

教学难点：

理解充分条件、必要条件的判断方法

教具准备：

多媒体教案

教学过程：

一、复习回顾

1、

命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q

2、

四种命题及相互关系：

3.前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假：

（1）若a>b,则ac>bc; (2)若a>b,则a+c>b+c; (3)若x≥0,则x2≥0; (4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

答：命题（1）为假；命题（2）、（3）、（4）为真

本节将在判断“若

p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件还是必要条件问题

二、新课

1.2.1充分条件与必要条件

1.推断符号“”的含义：

例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”

又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p⇏

q”

请同学用推断符号“”写出上述命题

答：（1）a>bac>bc；

(2)a>ba+c>b+c；

(3)x≥0x2≥0；

（4）两三角形全等两三角形面积相等

2.充分条件与必要条件

下面给出充分条件与必要条件的定义

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件

由上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。但同时说q是p的必要条件是为什么呢？请同学们讨论

（不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢？）

应注意条件和结论是相对而言的．由“pq”等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立

回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系

（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件

（3）中：“x≥0”是“x2≥0”的充分条件；“x2≥0”是“x≥0”的必要条件

（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件

“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件

3.从集合角度理解：

即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行

即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行

qp等价于pq。

即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x=y；q：x2=y2; (2)p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；

（3）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；

(4) p：x=2或x=3,q:x-3=3x

.

说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”

．

三、课堂练习：

1．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是(

) A．b＝0

B．b＞0 C．b＜0

D．b∈R 2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要条件是(

) A．a＞b＋1

B．a＞b－1 C．a2＞b2

D．a3＞b3

3．已知p：α≠β，q：cos α≠cos β，则p是q的

(

)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．

四、课时小结：

推断符号，

本节课主要研究了三点内容：充分条件的意义

命题充分性、必要性的判断．

必要条件的意义

1、定义：

如果已知pq，则说p是q的充分条件。

如果已知qp，则说p是q的必要条件。

如果既有pq，又有qp，就记作pq，则说p是q的充要条件。

3、

从集合角度理解：

即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行。

即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行。

qp等价于pq。

即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。

五、板书设计

1.2.1

充分条件与必要条件

1.推断符号“”的含义。

2.充分条件与必要条件的意义。

小结：（略）

六、教学后记

参考答案

例

【答案】

答：（1）因x=yx2=y2,即pq.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件

（2）因三角形的三条边相等三角形的三个角相等，即pq

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

又因：三角形的三个角相等三角形的三条边相等，即qp

则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件

（3）因x=1或x=2x2-3x+2=0,即pq

则p是q的充分条件，q是p的必要条件

又因x2-3x+2=0x=1或x=2. 则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件

（4）因x=2或x=3x-3=3x

,但x-3=3xx=2或x=3. 即p

⇏

q，而qp。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类？请同学讨论

可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而q⇏

p;(2)必要不充分条件，即pq,而p⇏

q; (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp;(4)既不充分也不必要条件，即p⇏

q，又有q⇏

p

课堂练习

1．【解析】b＝0时，直线y＝kx过原点．所以b＝0是直线y＝kx＋b过原点的充分条件．故选A. 【答案】A 2．【答案】A 3．【解析】q⇒p成立，但p⇏q，所以p是q的必要不充分条件．

【答案】A 4．【解析】根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)

⊆{x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2. 【答案】a＞2