2.1.4 平面与平面之间的位置关系名师教学设计1

平面与平面之间的位置关系

[学习目标]

1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.

知识点一

直线与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

定义

有无数个公共点

有且只有一个公共点

直线与平面平行

2.直线与平面的位置关系的分类

(1)按公共点个数分类

直线和平面相交——有且只有一个公共点有无公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行图形语言

符号语言

a⊂α

a∩α＝A

没有公共点

a∥α

(2)按直线是否在平面内分类

直线在平面内——所有点在平面内直线与平面相交直线在平面外直线与平面平行

思考

“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？

答

不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二

两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平面β相交

1 图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

α∩β＝l 有一条公共直线

思考

分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

答

这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.

题型一

直线与平面的位置关系

例1

下列命题中，正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0

B.2

C.1

D.3 答案

C

解析

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，

AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.

跟踪训练1

以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 答案

A 解析

如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误. 题型二

平面与平面的位置关系

例2

以下四个命题中，正确的命题有(

)

2

①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A.③④

B.②③④

C.②④

D.①④

答案

A 解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.

跟踪训练2

两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点. 其中正确的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.

分类讨论思想

例3

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状. 分析

决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论. 解

由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：

②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：

3

③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A.一条直线不相交

C.无数条直线不相交

B.两条直线不相交

D.任意一条直线不相交

2.下列命题中，正确的命题是(

) A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α

B.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点

D.若a⊄α，则a与α没有公共点

3.下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(

) A.都平行

B.都相交

C.在两个平面内

D.至少与其中一个平面平行

5.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________.

4

一、选择题

1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(

) A.b∥α

C.b⊂α

B.相交

D.b⊂α、相交或平行

2.与同一平面平行的两条直线(

) A.平行

C.异面

B.相交

D.平行、相交或异面

3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A.α内的所有直线均与a异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内的直线均与a相交

D.直线a与平面α有公共点

4.以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面. 其中正确的是(

) A.①②

B.②③ C.③④

D.①③

5.过平面外一条直线作平面的平行平面(

) A.必定可以并且只可以作一个

B.至少可以作一个

C.至多可以作一个

D.一定不能作

6.下列命题正确的是(

) ①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；

②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；

③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；

④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交. A.①

B.②③④ C.①②③

D.①④

7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

5

二、填空题

8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号). ①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线. 9.下列命题正确的是________. ①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交. 10.给出下列几个说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行. 其中正确有________个. 三、解答题

11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.

12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.

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当堂检测答案

1.答案

D 解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点. 2.答案

C 解析

对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错. 3.答案

B 解析

②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误. 4.答案

D 解析

这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. 5.答案

①②

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.

课时精练答案

一、选择题

1.答案

D 解析

如图所示，选D.

2.答案

D 解析

与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面. 3.答案

D 解析

若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.

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4.答案

D 解析

对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③. 5.答案

C 解析

因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面. 6.答案

B 解析

①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断. 7.答案

B 解析

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D. 二、填空题

8.答案

①

解析

空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点. 9.答案

①③

解析

对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；

对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；

对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确. 10.答案

1 解析

①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确. 三、解答题

11.解

a∥b，a∥β.证明如下：

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，

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∴a、b无公共点. 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点. 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.

12.解

平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交.

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