习题3.1课时教案

《直线的倾斜角与斜率习题3.1》教学设计

嘉兴市秀州中学

沈利红

一、教材分析

本节课内容是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（2）第三章第一节：直线的倾斜角与斜率的习题课。本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式以及用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系的基础上的一节复习课。核心内容是深刻理解已经学过的这些概念，并能用之解决一些问题。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的复习，帮助学生进一步体会直角坐标平面内几何要素代数化的过程，进一步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

两条直线平行与垂直的判定既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。

二、学情分析

学生已经学习了直线的倾斜角和斜率概念以及用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系，初步经历了几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形性质的过程和方法，初步体会了数形结合思想。由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。通过本节复习课，使学生感受到几何与代数有着密切的联系，对解析几何有感性的认识。另外，学生计算基础比较薄弱，解析几何运算有一定的困难，在本次课上要给与学生充分的时间计算。

三、教学目标

1、通过对概念的复习梳理以及辨析，使学生深刻理解概念以及其本质，培养学生严谨的思维能力以及逆向思维能力。

2、通过书上B组第4题的讲解，学生会灵活运用斜率判断直线平行和垂直问题，提升运算能力，渗透数形结合思想和分类讨论思想。

3、通过书上B组第6题的讲解以及变式拓展训练，学生会从动态的角度分析直线斜率和倾斜角之间的关系，进一步体会数形结合思想，提高分析问题、解决问题的能力。

四、教学重难点

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教学重点：1、概念的深刻理解和辨析；

2、数形结合，灵活应用知识解决问题

教学难点：深刻理解直线倾斜角和斜率之间的变化关系

五、教学过程

1、情境引入：

平面解析几何的本质是用代数的方法，以平面直角坐标系为媒介，研究图形的几何性质。它的创立者是法国数学家笛卡尔。

设计意图：通过揭示平面解析几何的本质，唤起学生对用代数法解决几何问题的意识，奠定整节课的思想基础。通过著名数学家的引入，渗透数学文化。

2、复习回顾：

问题：前面两节课学了哪些知识？

（1）倾斜角定义及其范围：0180

（2）斜率定义：ktan，(90)

（3）斜率公式：ky2y1yy2（或k1）

x2x1x1x2（4）l1//l2：k1k2或两直线斜率均不存在

（5）l1l2：k1k21或一直线斜率为0，另一直线斜率不存在

设计意图：通过知识点的回顾梳理，巩固前两节课的教学内容，使学生清楚自己所学习过的内容具体有哪些，在头脑中形成知识结构图，有助于理解和记忆，同时为本节课做好知识方面的准备。

3、概念辨析：

判断下列命题是否正确：

（1）所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应

（2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线

（3）若两条直线的斜率相等，则这两条直线一定平行

（4）若两条直线平行，则它们一定满足斜率相等

（5）若两条直线的斜率之积为1，则这两条直线一定垂直

（6）若两条直线垂直，则它们一定满足斜率之积为1

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（7）直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大

设计意图：通过似是而非的概念判断题，使学生产生头脑风暴，在正逆向思维的碰撞中加深对概念的理解。

4、学以致用：

例1：已知平面直角坐标系中不同的四个点分别为：A(m,n)，B(6,1)，C(3,3)，D(2,5)，

（1）求经过B,D两点的直线的斜率和倾斜角；

（2）判断B、C、D三点是否共线？若不共线，能组成直角三角形吗？

（3）若n2m1，下列条件下，分别求m的值：

①

若经过A,B两点的直线倾斜角为60；

②

若直线AB//CD；

③

若直线ABCD；

（4）若A,B,C,D（按顺时针方向）组成直角梯形，求m和n的值（B组第4题）。

设计意图：通过几个渐进式小问题的引导，使学生复习回顾应用已学知识解决简单的求倾斜角，求斜率，判断三点共线以及解决平行和垂直问题，在此基础上解决书本上B组第4题的几何问题，渗透数形结合思想和分类讨论思想。通过由易到难、几个题目的解决过程，也有助于锻炼学生的运算能力。

例2：（B组第6题）经过点P(0,1)作直线l，若直线l与连接A(1,2)，B(2,1)的线段总有公共点，找出直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由。

变式：经过点P(0,1)作直线l，若直线l与连接A(1,2)，B(2,3)的线段总有公共点，找出直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由。

设计意图：直线的倾斜角和斜率之间的关系问题是本节课的易错点，通过书上B组第6题的练习以及变式训练，深刻分析学生错误原因，借助于黑板上的函数图像分析以及PPT的几何画板动态演示，帮助学生突破这个难点。在此过程中，渗透数形结合思想和转化化归思想。

5、自我挑战：

练习：（作业本47页第16题）已知实数x,y满足2xy8，当2x3时，求值与最小值。

y的最大x

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设计意图：例2是从平面几何的角度描述并研究分析直线倾斜角和斜率之间的关系，而此题是从代数的角度描述。我们解题突破口在于将此题中的代数条件转化为图形条件，将代数比值问题转化为两点所确定的直线斜率问题，那么这个问题就化归为例2的题目类型了。这和后面将要学习的线性规划知识相关，学生可以先在此体会一下数形转化关系，为后续学习做好铺垫。

6、链接高考：

1139（2017浙江高考第21题）如图，已知抛物线x2y，点A(，)，B(，)，抛物线上的242413点P(x,y)(x)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

22（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．

设计意图：本节课的难点是直线的倾斜角和斜率之间的关系，而这个知识点在2017年高考中刚好涉及到，非常有用。让学生看看高考题，增加学习的信心和勇气。

7、课堂反思：

（1）这节课你收获了什么知识？

（2）你领悟到了什么数学思想？

设计意图：本节课是复习课，新的内容几乎没有，主要是为了加深学生对知识的理解和应用。通过这两个开放性问题，引导学生思考头脑中的知识体系，以及解决问题时的思想方法，提升分析问题、解决问题的能力，培养勇于探索的创新精神。

8、课后作业：

（1）书本89页习题3.1 （2）预习：直线的点斜式方程

设计意图：两个作业内容，分别是复习和预习，做好这两项工作是学好数学的常规，希望学生养成这个学习习惯，坚持是最重要的。

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