习题4.1教学评价实录

《圆的方程复习》教学设计

安吉昌硕高中

韩新蕾

【教材内容解析】

本章内容是在初中所学的圆的知识基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用。这节教材安排在学习直线之后，学习三个圆锥曲线之前，起到承上启下的作用。坐标法的思想与步骤在此章要初步形成，为后续“圆锥曲线与方程”打基础。《圆的方程》一节对圆的方程要求层次是“掌握”，通过坐标系把点和坐标，曲线和方程联系起来，实现形与数的统一。由于圆是一种对称、和谐的图形，有很多优美的几何性质，因此在运用坐标法解决问题的同时，还要充分利用圆的几何性质，在教学中要帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法。

【教学目标、教学重难点】

（1）教学目标：

知识与技能：理解和掌握圆的标准方程和一般方程。能根据条件灵活选择适当的方程形式，用待定系数，数形结合建立圆的方程。

能解决与圆相关的轨迹问题。

过程与方法：通过编题，探究，解题的过程，培养学生观察、比较、分析、概括的能力。

体会数形结合的思想，能够熟练的实现几何条件与代数条件的转化。

在合作交流中引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神。

情感态度与价值观：借助多媒体课件，让学生感受数与形之间的内部和谐美，培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

行为与创新：养成合理利用信息技术来解决问题的习惯，培养学生的创新精神和实践能力。

（2）教学重点：圆的方程的求法。

（3）教学难点：挖掘题目中的隐含条件，实现数与形的转化。

【学生学情分析】

本节为复习课，在此之前学生已经学习了圆与方程的整章知识，并且距离讲授新课已有很长时间。有的学生基础知识会有些遗忘。在之前训练过程中，学生在求解圆的方程时往往对圆的几何特征研究的不够透彻，导致一些隐含条件无法识别，方程选择不当造成运算量偏大。部分学生计算能力差也是求解不成功的主要原因。另外，很多学生对轨迹方程理解并不透彻。对求轨迹方程的问题感到迷茫，无从下手。有时虽能找到几何关系，但不能将其正确的转化为代数方程。

【教学策略分析】

一个开放的课堂更能提升学生的积极性和参与度。所以整节课的设计是给学生提供了一个研究数学问题的完整框架，不仅可以使他们学到“圆的方程不同求法”，更重要的是可以使他们在经历这一知识的探究

过程中，体会它的背景，学习提出问题、给出猜想及其证明、从不同角度给出解决的方法，从而领悟研究数学问题的基本步骤和方法．

【教学过程】

1.

复习引入

问题1：你能说出这三个方程表示什么图形吗？

（1）(x+1)2+(y+1)2=1

（2）x2+y2+2x+2y+1=0

2（3）y1(x1)1

22xy2kx4y3k80若方程表示一个圆，则系数满足什么条件？

问题2：【设计意图】开门见山，以三个简单的圆的方程帮助学生回顾圆的定义，两种方程和常见的变形．这样效果会比直接给出公式效果更好，加强学生的应用意识。

2.

合作探究

问题：已知一个圆经过两点A(2,2),B(2,0)，这样的圆有几个？你能添加一个条件，使之确定一个圆，并求出圆的方程吗？

【设计意图】这是一个开放性问题，引导学生从方程的角度观察，标准方程和一般方程均含有三个未知数（a,b,r或D,E，F），所以求圆的方程时需要三个独立条件。探究过程按照“添加条件---图形展示---一题多解---总结归纳”的步骤进行。通过学生添加条件，求解方程，培养观察，比较、分析、概括的能力。探究过程中利用几何画板辅助教学，对数学对象进行多重表征，使学生深入理解数学知识。通过数学实验激发学生，创新灵感，有利于培养学生的创新精神和实践能力。同时可以节省教学时间，增加课堂信息密度。

预设学生加的条件可能有以AB为直径，过第三个点，半径为2，圆心为（1,2），圆心在某条直线上等。这些条件有的是不成立的，此时先用几何画板演示，再引导学生从圆的性质出发，找出半径的范围，圆心的特征等；加了正确的条件后，让学生尝试说说求解过程。对于具体的条件采用一题多解的方式，开阔学生的思维，同时比较得出不同解法的优势，总结求圆的方程的一般思路：代数法和几何法。

教师补充条件：圆在两坐标轴上截距和为20；与某条直线相切

，弦AB所对的圆心角为60o等。

【设计意图】直线中截距学生很熟悉，但圆在坐标轴上的截距学生很少接触。这里利用转化思想，令x=0后得到关于y的一元二次方程，这个方程的两个根刚好是圆在y轴上的截距，进一步借助韦达定理将其和表示出来。开拓学生思维，体现圆与二次方程的关系。事实上，坐标轴是特殊的直线，要想求圆与某条直线的交点，可以用联立方程求根的方法，体现方程的思想。最后的条件是建立与三角形知识的关联,圆的弦长，切线等有关问题在解决时往往要和三角形有联系，同时解三角形中的正弦定理的推导也是借助于圆来完成，这里提出他们的关联，也留给学生一个思考的空间。

问题：通过这组求圆方程的题目，你有什么思考与感悟？

【设计意图】培养学生总结题型，方法的习惯。胸有成竹，方可以不变应万变。

3.拓展提升

已知线段EF端点E(4,6),端点F在圆x2(y1)25上，求线段EF中点M的轨迹方程.

【设计意图】轨迹方程是解析几何教学的难点.虽然这道题可以用相关点法顺利解决,但在学生还未系统学习过轨迹方程的求法前,研究动点的几何性质是更自然的想法,也是今后求轨迹方程的重要思路.通过几何性质来研究轨迹本质上是几何法，而相关点法本质上是代数法，再一次体现两种方法的应用。

4.课堂小结

这节课学了什么？（由学生总结，老师补充）

一个知识：圆的方程；

二种方法：代数法、几何法；

三种思想：数形结合、方程思想、转化化归.

5.课后练习

1.

若方程x2y2xym0表示一个圆，则m的范围是____________.

2.

圆x2y24x10的圆心和半径分别为__________. 223.

圆xyx6y30上两点P、Q关于直线kxy40对称，则k____________. 224.

若直线mx2ny40始终平分圆(x2)(y3)9的周长，则mn的取值范围是__________.

5.

圆xy4x50的点到直线3x4y200的距离的最大值为

6.

动圆xy(4m2)x2my4m4m10

的圆心轨迹是 .

7.

已知圆C关于y轴对称，经过（1,0）且被x轴分成两段圆弧长之比为1:2，求此圆的标准方程. 8.

已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于A(1,0),B(5,0)

(1)求此圆的标准方程. (2)设P(x,y)为圆C上任意一点，求点P(x,y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.

【教学反思】

本节课从由如下几个过程组成：1.复习引入，由简单的例子引出本节课的知识点：圆的两种方程；2.通过学生自主探究，寻找增加的条件，借助几何画板的演示，让学生从几何图形中提炼和挖掘数学知识，体会几何法和代数法各自的优势以及数形结合，方程，转化与化归的思想；3通过探究提升回归到本节课本质，圆的定义；4归纳思想方法．

最大的亮点是第二部分的自主探究。当学生添加条件后先利用几何画板作图，使学生有一个感性的认识，22222

再来寻求方程的不同求法。通过尝试、讨论、归纳得到求圆的方程的一般想法以及方程形式如何选择。这一过程强化题型与方法，旨在能使学生慢慢养成归纳总结的习惯，不为做题而做题，拿到新题目后要有往已知的题目类型上转化的意识。

第三部分的轨迹方程不同于以往的相关点法求解，而是先作图，让学生试着从定义的角度来解释。这道题借助几何画板很容易解决，所以也想通过这道题让学生体会信息技术对于学习以及我们认识世界的帮助。随着科技的发展，电脑手机都已融入人们的生活。但是多数学生只把电脑做为娱乐工具，这实在是有些可惜。不过这道题也有一点遗憾，整节课都在强调代数法和几何法的应用，但由于上课时间的限制，这道题未能用代数法详细求解。

通过这次课的教学，我深深体会要上好一节课不是一件容易的事。备课的思路和理念直接引领着老师的教学活动。要能做到，首先要能想到，因此勤思考、多探究是一名老师必备的素养。今后在我的教师生涯中，我会尽最大的努力去学习，提升自己的文化素养和专业素养。