1.2.3 空间几何体的直观图特级教师教学实录

《利用长方体还原椎体三视图》教学设计

一、教学内容分析

三视图是立体几何的基础之一，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。本节课是人教版高中数学必修二第一章第二节《空间几何体的三视图》第二课时的内容，是在第一课时学习了柱、锥、球体的三视图的画法及其由三视图还原几何体的基础上进行的，也是求空间几何体表面积、体积的重要结合部分，能把三视图还原成几何体，才能顺利地解决表面积、体积问题。本节课的主要内容是学会通过利用长方体将一些复杂的椎体还原。长方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何体，由实体到三视图，可以把熟悉的几何体放到长方体中来进行，由三视图到实体，可以在长方体中通过加减线条构造出锥体，这样极大方便点、线、面之间位置关系的判定，尤其是在垂直的判定，辅助我们完成体积、表面积的计算。

采用构造长方体的方式去处理一些复杂的椎体三视图问题，不仅帮助我们建立了严谨的逻辑思维，往往还能起到化难为易、化繁为简的效果。

二、教学对象分析

通过前面知识的学习，学生基本掌握了空间几何体三视图“长对正、高平齐、宽相等”为原则的画法，也可以从一些简单的三视图还原空间几何体。在对比较复杂的三视图还原，尤其是椎体三视图的还原情境中，学生往往很难构建出椎体的空间几何体，从而对解决有关表面积、体积等问题有一定的阻碍。学生的学习难点主要是因为椎体较柱体、球体而言，变化较大且不规则，给学生的空间想象能力造成一定的影响。

三、教学目标、教学重难点及重难点突破方法

（一）教学目标

1.知识与技能

能利用长方体还原椎体几何体，并能依据还原的几何体解决相关的椎体表面积、体积等问题。

２.过程与方法

通过利用长方体还原椎体的学习，培养学生的空间想象能力和严谨的逻辑思维能力，培养学生转化与化归的数学思想方法，学会从特殊到一般问题的辩证思维能力。

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３.情感态度与价值观

通过将问题化难为易，化繁为简的过程提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、

勇于探索、互相合作的精神，并形成良好的思维习惯。 （二）教学重难点及突破方法

１.教学重点

能利用长方体还原椎体几何体，并能依据还原的几何体解决相关的椎体表面积、体积等问题。

２.教学难点

理解长方体换原椎体方法的本质。

３.教学重点突出、难点突破的方法

利用小组合作的形式，充分发挥学生的主管能动性，让学生在自我思考、小组解决的过程中得到提升。

四、教学方法、过程及整合点

步骤

目标与内容

教学方法

问答法

整合点与软件

利用PPT演示上一节课三视图的有关知识，结合三个问题组成问题串，让学生产生认知冲突，引起学生产生如何解决椎体三视图还原的求知欲，激发学生的学习欲望。为下面利用长方体还原椎体三视图明确学习意义。

借助几何画板动态演示三棱锥沿俯视图投影方向拉伸的过程，在前面认知冲突的基础上，让学生在直观想象的观察中有个思路：我们可以从三棱锥的底课前预习

让学生通过导学案，小组合作预习

问题1：我们画空间几何体三视图的原则

是什么？

问题2：你会还原哪些三视图的几何体？

你觉得哪一类的几何体的还原是比较有

困难的？

问题3：你遇到的困难通过小组交流有没

得到解决？

【设计意图】通过对前面知识的回顾和

学生认知过程的冲突，引出本节课要解

决的问题：如何更好地还原椎体几何体。

温故知新

问题解惑

目标设疑

老师借助几何画板边演示三棱锥的顶点

沿俯视图方向拉伸的过程边引入课题：

我们将棱锥的顶点沿俯视图投影方向压缩即可以得到俯视图，反之如果我们将这个点向上拉升，即可以还原出这个几何体。那我们是否可以这样思考：当一个椎体正放时，我们是否可以从俯视图上找到一个点进行拉升，从而得到棱锥？

自主学习法

导学案

演示法

启发法

观察发现法

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【设计意图】让学生在直观形象的动态演示图感悟出还原三棱锥的方法，为下面利用长方体还原椎体三视图做好铺垫。

创设情境

师生互动

探究新知

特殊棱锥在长方体中的还原

通过PPT展示2010年湖南文科数学卷的一道三视图求一个底面为直角三角形的直三棱锥高的问题，引导学生将此直三棱锥放入长方体进行还原。

(2010·湖南文)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm的几何体的三视图，则h＝________ cm. 3面找一个点向上拉伸从而还原三棱锥。

演示法

直观发现法

【设计意图】通过选取底面为直角三角形的直三棱锥这样一个特殊的椎体在长方体中动态还原的过程，让学生建立起在长方体还原直三棱锥的空间立体感，为下面一般椎体在长方体的还原做铺垫。

一般棱锥在长方体中的还原

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因为直三棱锥有一个点连接三条互相垂直的线段，刚好可以借助长方体的一个角体现这样一种空间立体感，当把这个直三棱锥的底面RtΔABC放在长方体的底面时，学生能较快地找到直角的那个点A往在长方体高的方向拉伸，从而得到直三棱锥的顶点P，再将顶点P与底面的各个点连接，即得到直三棱锥P-ABC

老师利用电子白板的数学工具箱画出长方体，引导学生如何将一般三棱锥在长方体还原，在重要步骤中用彩色笔标示，比如，俯视

引导学生一起还原椎体之后，再与学生一起探究反思还原椎体过程中的步骤及其原理，设计问题如下：

1.为什么是画长方体？正方体可以吗？什么情况下用正方体？

2.俯视图的交点标出的作用是什么？

3.俯视图的哪些交点要叉掉？为什么？

【设计意图】本环节是这节课的重点，也是难点，通过师生的合作与交流，利用三个问题串对椎体在长方体中还原的提问和反思，让学生能充分理解利用长方体还原椎体的实质。

总结椎体在长方体中还原的步骤：

1、

画长方体（或正方体）；

2、

在长方体的下底面画出三视图中的俯视图；

3、

俯视图与长方体下底面的所有交点打上圈号；

4、

看正视图、侧视图的两边点有无直角，非直角点叉掉，直角点M即为可拉伸点；

5、从M点向下拉点连线即可。

【设计意图】这一环节设计重在帮助学生强化“自己的”认识，构建起学生“自己的”知识网络。同时让学生将认识三视图的感悟引申到其它事物上，使数学教学上升到哲学的层面，以达到数学教学更高的目标追求。

直观演示法

观察发现法

启发法

讨论法

图的交点要着重标出，不能拉伸的点要叉掉，最后要将椎体的顶点与底面的各个点连接。

通过让学生思考三个问题串的过程，让学生对在长方体还原椎体有更深层次的认识，做到“知其然，亦知其所以然”。

讨论法

小组合作法

让学生小组自主合作观察、讨论、交流得出在长方体还原椎体的步骤，再由老师补充强调。发挥学生的主观能动性，让学生充分参与学习、发现、感悟、分享经验的过程，充分感受数学的思想方法。激发学生的学习热情，从而获得取得成功的成就感。

小试牛刀

画出下面某几何体三视图的直观图。

【设计意图】这是深化学生对概念理解、

掌握方法、提高应用能力的重要环节。

让学生在实际操作中领悟知识，提升认

知，获得成功的体验。

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让学生小组通过合作利用上面总结的方法将本道题进行实际操练，加深对方法的理解和掌握。

在学生进行思考画图后，再由老师利用PPT展示动态画图过程，加深学生的空间立体感。

演练巩固

深化理解

学以致用

谁与争锋

画出下面几何体三视图的直观图。

直观演练法

练习法

小组合作法

【设计意图】学生小组之间比一比，赛一赛的方式，在游戏竞争中实以现熟练在长方体还原椎体三视图的学习目标。

某几何体的三视图如下，画出它的直观图并求出该几何体的表面积。

先让小组的各个成员合作完成这两个三视图的几何体还原，最快完成的小组上台展示其成果，由其它小组进行评价。通过学生小组合作以比一比，赛一赛的方式，在游戏竞争中实现熟练在长方体还原椎体三视图的学习目标。

【设计意图】通过将在长方体中还原椎体的方法运用到求几何体的表面积、体积的数学问题中，让方法得以进一步巩固提升。

在经过前面多次练习在长方体还原椎体的习题巩固中，再让学生做还原几何体后并求表面积和体积的题就变得轻而易举。求表面积、体积的关键就在于将几何体还原，在前面方法掌握的多层铺垫中，学生对付类似于椎体求表面积、体积的问题就迎刃而解了。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ C ）

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讨论法

前面的方法是对于投影面与俯视图方向一致的椎体的还原，本道题则是投影面不与俯视图一致的椎体的还原问题。让学生学会从不同角度思考问题，学

理论升华

思维拓展

总结评价

【设计意图】让学生思考当椎体放置角度发生改变时椎体还原的方法，从而领悟方法的灵活变通，真正地做到以不变应万变。

问题1：本节课你学到了什么？

问题2：在长方体中还原椎体三视图的步骤有哪些？

问题3：掌握该方法应注意什么？

【设计意图】自主小结知识点，由物及人，教育学生无论是对人、对事多从不同的角度，不同的视角来考虑，多作换位思考，学会合作。

问答法

会将知识进行整合交融。

提纲挈领，理清基本内容，形成知识体系，提升数学思想，使本节课内容不再浮于表面。将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用。

课后作业

导学案的评测练习

【设计意图】通过测评练习加深对本节课知识的理解和巩固，达到构建知识体系的目的。

练习法

利用测评练习，进一步延伸课堂，拓展学习空间

五、课后反思

对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来。通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。然而还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，主要是针对椎体三视图的还原难点进行突破，变化形式不大，拓展不广；对授课形式上，教师的干预（讲解）还是太多。在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求，用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。

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