2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教学设计

直线与平面垂直的定义与判定教学设计

课题

授课人

教学目标

能力目标

知识目标

直线与平面垂直的定义与判定教学设计

宁晋五中

赵丽娟

课时

课型

1课时

新授课

通过观察探究理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

通过直观感知和操作确认的方法，体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理并获得数学结论的过程。

通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和情感目标

积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法。

教学重点与难点

重点

抽象概括直线与平面垂直的定义，操作确认直线与平面垂直的判定定理。

难点

教学方法

教学用具

操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用. 启发引导式、合作探究式。

实物模型、多媒体课件。

教

学

过

程

环节

教学内容设计

师生双边互动

设计意图

意图1：基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与问题1

请举出日常生活中具有直线创

设

情

境

学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适与平面相交的例子，你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？ 问题2

在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？

问题3 你觉得画怎样的直观图最能反映你心目中的直线与平面垂直的情1 当补充，如旗杆与地面、平面相交中的特例跨栏的支架与地面的位置关系等.

基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂意图2：长方体的——直线与平面垂直的形象，由此引出课题.

环节

教学内容设计

师生双边互动

直的位置关系。

设计意图

形？

侧棱与底面，圆柱、锥的轴与底面的位置关系等。

师生活动：学生画图，师生共同分析媒体演示作线过程，帮助学生开阔思路，培养学生画法。

的数学直觉思维。

师3：对于解决本题有困难的学生可做适当理论引导。

意图3：给出直观图的画法，有利于揭示师生活动4：学生回忆问题的本质，有利于直线与平面平行的研究思问题4 （1）你能回忆一下直线与平面平行的研究思路吗？

进行几何的抽象概路，考察该直线与平面内直括。

线的位置关系（图2），教（2）类似的我们又如何研究一条直线与一个师适时给出“旗杆与变动的意图4：引导学生用“降平面垂直呢？

意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形。

问题5：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC

（1）它们的位置关系是怎样的？

（2）随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗? 师生活动6：引导学生（3）AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的直线B′C′的位置关系又是什2 影子的关系”的情景来启发维”的思想来思考问题，学生。

师生活动5：学生思考、直线与平面垂直的情通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究分析与说理，教师可利用多形.

媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程.得出结意图5：第（1）论后引导学生思考：能否用（2）问旨在让学生一条直线垂直于一个平面内发现旗杆AB所在直的任意一条直线，来定义直线始终与地面上任线与平面垂直。

意一条过点B的直线垂直，第（3）问旨在引导学生根据异继续操作、观察，如图4，面直线所成角的概

环节

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师生双边互动

设计意图

么？由此得到什么结论？

当的平面外直线AB（用一支念得出旗杆AB所在笔表示）与平面（用桌面表直线始终与地面上示）不垂直时，平面内就有任意一条不过点B的直线BC（可用另一支笔表直线也垂直，从中概示）与平面外的这条直线不括出：一条直线与一垂直.接着引导学生给出定问题6 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你能断定该直线与此平面垂直吗？

个平面垂直，那么该义，教师给出严格定义及其直线与此平面内的相关概念.

意图6：通过观察、思考与讨论，让学生感悟：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，这条直线就与该平面垂直. 并让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.

辨析1意图：使学生明确平面中直线的“任意性”.

任意一条直线都垂直。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直

线都垂直，我们就说直线

l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们

唯一的公共点P叫做垂足。

辨析1：命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂

直”是否正确？为什么？

3

环节

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设计意图

（三）操作确认直线与平面垂直的判定定理

通常定义可以作为判定的依据. 问题7 如图6，标准的跨栏，其支架必须竖师生活动7：先让学生思考意图7：引发学生认用定义判断不方便的原因，知冲突，激发探索判再讨论平面内直线减少到多定定理的需要，将平少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸面内直线条数从无限条转化为有限条。

直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂活动。

直），如何进行检验？

实验：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如图7，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）

4

环节

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师生双边互动

设计意图

问题8 （1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？

师生活动8：让学生沿

意图8：通过折纸活A点进行各种翻折，并充分动让学生发现，当且观察、思考与讨论，教师参仅当折痕AD是BC边与活动。

上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直（如图8）。

问题9当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面α不垂直吗？为什么？

师生活动9：学生继续观察并说理，如图9，当AD与BC不垂直时，翻折后AD

意图9：回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平始终与桌面内的直线BD（或面内的一条直线不DC）不垂直。

垂直.

意图10：问题（1）旨在让学生继续操作并确认AD始终与师生活动10：引导学生问题10当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻桌面所在平面α垂直的事实，问题（2）折。（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂继续操作观察，进行合情推意在引导学生发现：当AD垂直于平面α理并获得结论。

直吗？

内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直

（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥于平面

CD是否发生变化？由此得到什么结论？

建立了定义师生活动11：学生解释意图11：与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于5 问题11 AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与说明，如图10，当AD⊥BC直线与平面垂直的定义相符合吗？

时，固定BD，保持DC紧贴

环节

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师生双边互动

设计意图

桌面，让折纸的CAD部分挠深化学生对定义的着AD旋转，旋转过程中发现理解。

AD始终与平面α垂直（直

问题12 根据上面的试验，结合两条相交直观感知），同时AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，因此AD与平面α

线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂内任意一条直线都垂直。

直的判定方法吗？

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直判定定理，教师可追问：上线都垂直，则该直线与此平面垂直.（如图11）

述平面中两条相交直线与平意图12：让学生归纳出直线与平面垂直的判定师生活动12：学生叙述定理.。

面外的这条直线是否一定要

有公共点？以明确平面内两

相交直线的任意性，接着指出前面的验证过程并非定理

用符号语言表示为：的严格证明，在后续学习中将借助空间向量的方法来证

明，再引导学生给出文字、

图形、符号这三种语言表示，

明确定理中的五个条件。

辨析2：命题“如果一条直线与一个梯形的

辨析2意图：强化平辨析2师生活动：学生面中两条“相交”两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平直线的条件。

思考作答，教师强调“相

面”是否正确？为什么？

交”条件。接着让学生给出

检验跨栏的支架是否竖直立

6

环节

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师生双边互动

设计意图

能分别于地面的办法：只要与地面例题1意图：用判定定理与定义解决问题，会用证明上两相交横杆垂直.。

问题的一般思维策例1：如图13，已知a∥b，a⊥α，求证：b略：由已知想可知⊥α. 例1师生活动：由学生分析（性质），由未知想需知（判定），合理思路并口述证明过程，师生选择辅助线.

共同评析，接着引导学生阅

读课本，注意证明题书写的

规范性，并用文字语言叙述：

两条平行直线中的一条直线

垂直于一个平面，则另一条

直线也垂直于这个平面。

练习师生活动：学生板练习意图：意图：进练习：如图14,在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，一步领会问题解决求证：VB⊥AC。

演练习，师生共同评析。

的一般思维策略，合

理选择辅助平面，体会转化思想在解决

问题中的作用. 总结意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

初步应用：

总结反思：

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？（3）你还有什么

收获与感想？

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