信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教学目标

用《几何画板》探究点的轨迹：圆

在解析几何中，我们学过到两定点距离之和为常数的点的轨迹，也学过到两定点距离之差为常数的点的轨迹，那么还能想到哪些类似的轨迹问题呢？自然会想到，平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹又是什么？这就是文本要探究的问题：阿波罗尼斯圆

一．历史背景

1.阿波罗尼斯圆简介

阿波罗尼斯，古希腊人，公元前262年到公元前190年，与阿基米德、欧几里得齐名，被誉为古希腊三大数学家。他写的《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了当时希腊几何的最高水平，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题。

在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上，且满足PA/PB= m，

当m>0且m≠1时，P点的轨迹是一个圆（当m=1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线），由于这一轨迹是由古希腊数学家阿波罗尼斯首先发现的，因此这个圆我们称作阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。

2.几何画板简介

几何画板是美国软件The Geometer’s Sketchpad 的汉化版，发展至今版本已升级到5.04，是一个很适合用于几何教学和学习的工具软件平台，尤其在解析几何中大有用武之地，它可以揭示轨迹的形成过程，其精髓是在运动中保持原有的几何关系不变，所以被誉为“21世纪的动态几何”。随着信息技术在教育教学领域的广泛应用，几何画板将会成为我们数学教师最喜欢的一款教学软件，也是作为当今一名合格的数学教师的必备条件。

本文，我们将用几何画板这一“动态黑板”来揭示传统教学手段所不能展现的一个问题------阿波罗尼斯圆的轨迹形成过程。

二．与教材的衔接

阿氏圆在高中数学必修课程的数学2 第四章《圆与方程》里，多次出现。

第1次是在必修2课本第124页B组第3题以一道习题的形成呈现的，具体如下：

3．已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1/2，求点M的轨迹方程。

分析：这道题原来是旧教材中圆的方程部分的一道例题，题目很简单。在给定坐标系里，设点M（x，y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合OM1PM,

AM2由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为

x2y2(x3)2y21, ①

2将①式两边平方，得

1

x2y21,

224(x3)y化简得

x2y22x30, ②

这就是所求的曲线方程。

把方程②的左边配方，得 (x1)2y24

所以方程②的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。

第2次是在必修2课本第139页信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆 中出现。

例.已知点P（2，0），Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的1/5，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程。

与上面的问题一样，如果是只求方程，可以很容易得到，为

(x1.75)2y21.252,知点M的轨迹是以（1.75，0）为圆心，1.25为半径的圆。但是，如何用几何画板来探究呢？有很多数学老师由于对几何画板软件没有接触过，因此对教材中的这一块内容没有利用好，所以也无法体验到阿氏圆轨迹的动态形成过程。法国著名数学家笛卡儿曾经说过，“有任何东西比几何图形更容易印入人脑”。所以说用图形表达事物非常有益，而且通过对图形的实际操作，往往能得到意外的收获。（下文将介绍用几何画板探究阿氏圆的过程）

第3次出现是在必修2课本第144页复习参考题B组第2题

2．已知点M与两个定点M1,M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m1和m1两种情形）。

分析：该问题实际上是对上面两个具体问题的一般化的扩展，当m1时，轨迹显然是线段M1M2的垂直平分线，当m1时，轨迹即为阿氏圆。具体求方程的过程这里略去。

根据已知条件求曲线的方程，是解析几何的重要任务。上述3个问题中，这一点都可以很容易达到，然而由于对几何画板的不精通，却无法从图形的角度得到进一步的验证，从而达不到升华，达不到深层次的理解。

三．与高考的衔接

高考往往是源于教材，而又高于教材，下面是2008年江苏省的一道考题。

（2008 江苏13）

13．满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积最大值是 ．

本题是2008年江苏省高考数学第13题，近年来也在全国各地高考模拟试题中出现，其原解法如下：本小题考查三角面积公式、余弦定理及函数思想。设

2

BC=x，则AC2x，根据面积公式得SABC11ABBCsinB2x1cos2B。

22AB2BC2AC24x2(2x)24x2根据余弦定理得cosB，代入上式2ABBC4x4x得

SABC4x22128(x212)2

x1()4x162xx2222x222

由三角形三边关系有x22x故当x23时，SABC取得最大值22。

事实上，本题目用阿氏圆很容易得到解决。由条件“AC＝2BC”知，顶点C的轨迹是一个圆，用解析法，建立坐标系后，可求的圆的半径为22，即三角形高的最大值为22，而底AB＝2，所以最大面积为22。

本题目在教材中的原形就是上面的必修2课本第124页B组第3题，然而却上升到了一定高度。这就要求我们教师在教学过程中一定要深入挖掘教材。

下面我们就运用几何画板来探究阿氏圆的形成，以及它的圆心和半径又都跟什么有关系。

四．几何画板探究过程

阿氏圆的形成，用传统的教学手段很难揭示其本质，然而借助几何画板的动态演示功能却能直观、形象的达到目的。

下面是用几何画板作阿氏圆的步骤，供几何画板初学者参考：

1.打开几何画板，自动建立一个新绘图，并使文本窗口最大化；

2.按住画板【工具箱】中的【画线段】工具不放，拖动鼠标到【画直线】处松开，在绘图区单击鼠标，移动鼠标到另一个位置处，再单击鼠标，画出直线，并隐藏控制直线的两点；

3. 按住画板【工具箱】中的【画直线】工具不放，拖动鼠标到【画线段】处松开，在直线上（当直线增亮时）单击鼠标，移动鼠标，形成一条线段CD后单击鼠标，并隐藏直线；

4. 单击【工具箱】中的【画点】工具，在线段CD上（当线段增亮时）点击鼠标，作出点E；

5.同时选中点C和点E，单击【度量】菜单中的【距离】，得度量值CE，用同样的方法得到度量值ED，单击【数据】菜单中的【计算】，在弹出的对话框中，依次单击CE，除号，ED后，点击确定，得度量值CE/ED，并标记为m；

6.单击【工具箱】中的【画点】工具，在绘图区点击鼠标，绘制点A，移动鼠标到另一个位置处，再点击鼠标，绘制点B；

7.同时选中点A和度量值CE，点击【构造】菜单中的【以圆心和半径绘圆】，作出圆c1，选中点B和度量值ED，用同样的方法，作出圆c2；

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8. 拖动点D，使两圆处于相交位置时，同时选中圆c1和圆c2，单击【构造】菜单中的【交点】，作出两圆交点P，Q；

9.同时选中点D和点P，单击【构造】菜单中的【轨迹】，作出点P的轨迹（图中红色部分），同时选中点D和点Q，用同样的方法，作出点Q的轨迹（图中蓝色部分）；

10.如图观察可知，点P和点Q的轨迹合起来，构成的应该是一个圆（图中加粗部分）。

注：拖动点D，可以保证度量比CE/ED不变.

通过几何画板的动态演示，相信大家已经得到了答案，当拖动点D时，交点P，Q的运动轨迹形成了一个圆，而在运动过程中，始终保持几何关系“PA/PB=m”不变，这就是阿波罗尼斯圆的形成过程。那么大家可能会问，阿氏圆作为一个圆，那么它的圆心和半径分别是什么？又跟哪些量有关系呢？

通过在几何画板中，对图形实际操作，我们会发现以下三点：

1.阿氏圆的圆心应该在直线AB上；

2.改变两定点A、B间的距离，可发现阿氏圆的大小会随之改变；

3.改变m的值，可发现阿氏圆的大小也会发生变化。

注：拖动点D在线段CE上的位置，可改变m的值

4

以上探究表明，阿氏圆的半径一定跟AB与m的大小有关，那么是什么关系呢？这就需要继续运用几何画板这一动态黑板来定量研究。

如下图所示，设阿波罗尼斯圆与直线AB的两个交点从左至右分别为PP2，1，P1P2应为阿氏圆的直径。

在下图中，拖动点D，到如下位置关系（两交点P,Q重合于点P2）：

5

在上图中，P2Am ①

P2B

又

P2AP2BAB ②

由①和②联立解方程组得，P2AmAB

m1拖动点D，再到如下位置关系（两交点P,Q重合于点P：

1）

6

在上图中，P1Am ③

P1B又

P1BP1AAB ④

由③和④解方程组得，P1AmAB

1m2mAB

1m2设阿波罗尼斯圆的半径为R，则2RP1P2P1AP2A所以半径Rm1m2AB，

这就是半径、m、AB的定性关系，m和AB任一元素的改变都会引起半径的变化。

限于论文的文本形式，无法展现轨迹的动态形成过程，希望各位教师运用几何画板探究，获得新知,体验成功的快乐。

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然而，上述过程仅仅是在几何画板平台中，通过对实际图形的操作，作出的猜想，那么这一猜想是否正确呢？我们可以用解析法进一步证实。

证明：以线段AB所在直线为x轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设ABa，则A(0,0),B(a,0)，设P(x,y)，则

PAm 即 PB 两边平方，整理得

x2y2(xa)y22m

(m21)x2(m21)y22am2xm2a20

由m1，配方得

am22m2a22 (x2)y2

2m1(m1)am2,0)为圆心，由解析几何知识，我们知道，这个方程表示的正是以(2m1mm12AB为半径的圆。

经过理论推理，我们知道，我们先前的猜想是正确的。

类似地，用《几何画板》可以探究许多轨迹方面的问题。通过本文探究，我认为几何画板为我们创造了一个实际“操作”几何图形的平台，我们可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、得出猜想，这种环境可以启发我们用数学思想方法验证我们的猜想。我相信，在不久的将来，几何画板将成为中小学数学教师手中的一件“利器”，利用它可以更好地帮助我们教学，使不容易讲清楚的问题在这个平台上能讲清楚，使黑板上静态的图形，在这里能够淋漓尽致的得到动态展现。

在阿波罗尼斯的时代，解析几何创始人笛卡尔还没有出生，更没有现代化的信息技术，阿波罗尼斯是如何发现阿氏圆，我们不得而知，只为这位数学家的聪明才智赞叹不已。

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