3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案内容

直线的倾斜角与斜率教学设计

学校名称

课例直线的倾斜角和斜率

名称

学段高中数学

学科

章节

必修二第三章3.1 河北平山中学

教师姓名

教材版本

年级

梁志强

人民教育出版社

高一

1、解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形，代数与几何等最基本对象之间的关系。我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中数和形时两个最主要的研究对象，他们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。教材平面解析几何问题就是借助建立适当的坐标系。科学合理地把几何问分析

题代数化，运用代数的方法研究几何问题。

2、本章主要介绍解析几何中的最基本的知识，从最简单的曲线--直线开始。通过对“直线的倾斜角与斜率”概念的学习，体会解析几何的重要方法--坐标法（或解析法）。用这种方法，一方面，几何概年可以用代数表示，几何目标可以通过代数方法达到；另一方面，又可以给代数语言更置换、更形象的表达出来。

知识与技能：

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数的方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的斜率的计算公式。

教学过程与方法：

目标

1、培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

2、与学生共同了解数形结合、分类讨论的思想方法。

情感态度和价值观：

1、通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数的方法刻画直线斜率的过程；

1

2、激发学生学习数学的热情。

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

难点：斜率概念的学习，过两点直线的斜率公式。

根据日常生活的经验，学生对直线已有一定的认识，但仍没有上学情升成为具体的“定义”水平，将感性认识理性化，会对他们是一个挑分析

战在初中阶段已经涉及过一次函数，把代数与几何结合，对他们又是一个挑战。

将“引导式”教学与“探究式”教学有机结合，充分利用多媒体教学重难点

教学辅助教学

，通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考，亲身经历方法

概念的发现和形成过程，体现公式的推导过程. 一、教学过程

(一)情境引入，揭示课题

现实生活中到处都有美妙的曲线，行星的运动轨迹，美丽的古桥，摩天轮等，如何从数学的角度深入研究这些曲线呢？这就需要进行量的刻画。今天我就带领大家进入这个新的领域。

问题1、屏幕上的两个点P、Q相同吗？

教学过程 从形的角度看，他们有位置之分，但无大小、形状之分。

从数的的角度，如何区分两个点？（用坐标区分）

问题2、过两点可以做一条直线，唯一。过点P可以做无数条直线，选取其中一条，还需要哪些量？

确定一条直线除了用两个点刻画之外，还可以用一个点和一个角度来刻画。角度反映的是直线的倾斜程度。

引入课题--直线的倾斜角与斜率。

2

然后出示本节教学目标，教学重、难点。

由以上的分析，引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

(1)已知直线上两点，（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度。

（二）自主探究，形成概念（18分钟）

问题一：平面直角坐标系中，过定点P的直线，给定一个倾斜程度，选谁做参照物呢？

选x轴，y轴都可以，一般的，我们习惯选取X轴。

问题二：直线与x轴形成四个角，选哪一个角反映直线的倾斜程度呢？

一般的选取X轴的正向和直线向上的方向之间所成的角。

过点P与x轴成角的有几条直线？

y

教学过程



Ox教师引导学生用不同的方向来区分角。数学概念来刻画事物时，讲究统一美、简洁美，如和用数学语言来描述这个角呢？

揭示课题，生成定义：

在平面直角坐标系中，当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角

叫做直线的倾斜角。

yool

yool



po

x

lp

y

xpo

xo

lp

yx090 90 90o180o 0o

规定：当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0。

3

0

倾斜角的范围0,。

达标测试1：设直线l过坐标原点，它的倾斜角为450，如果将l绕坐标原点按顺时针方向旋转600，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

)

A． 750 B．15 C．600 0 D．165

0

问题三：日常生活中还有表示直线的倾斜程度的量吗？

现实生活中的陡坡比较难爬，坡的陡缓在生活中用坡度来表示。

初中学过的坡度等于什么？能反映坡的陡缓吗？

插入名师讲解斜率的视频。

坡度等于升高量与前进量的比，也就是坡角的正切。

坡度能反映破的陡缓，也就是能反映直线的倾斜程度。

结合正切函数的定义坡度就是坡角（倾斜角）的正切，坡度在数学中叫斜率。用k表示。

倾斜角是90的直线没有斜率。倾斜角不是90的直线k=tan. 因为学生学过三角函数，所以用正切函数分析：

00

结合正切函数在x0,上的图像可以已知的范围，求k的范4

围，也可以已知k的范围求的范围。

问题五：倾斜角和斜率都是刻画直线的倾斜程度的量，哪个更好呢？

我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，说明倾斜角直观，斜率刻画的更准确。华罗庚说过的话还有：“数数形结合百般好，隔离分家万事休”。说明数形结合思想的重要性。

(三）师生互动，导出过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的斜率公式

第一种方法:用书上的方法（斜率等于升高量与前进量的比）过两点的直线是确定，直线的倾斜角就确定了，斜率就确定了。由此可见，直线上的两点与直线的斜率有着密不可分的关系。那么如何根据两个点的坐标求直线的斜率k呢？

让学生考虑过两点的直线都有哪些情况，分类讨论，得出

y2y1kx2x1

第二种证明方法，

几何画板演示结论。

5

以上探究说明直线斜率与P1、P2位置的选取没有关系。

达标测试2、

例2、求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角？

（1）A（1,2）

，B（4,5）

（2）A(3,2)，B（4,1）

（3）A(3,2)，B（3,-1）

（4）A(3,2)，B（4,2）

解：（1）k=1,锐角。；（2）k=-1，钝角。

（3）k不存在，直角；（4）k=0，零角。

(六)课堂小结：(2分钟) 引导学生总结：你学到了那些知识和方法呢？

几生口答，老师给予肯定和补充。

1、明确了确定直线位置关系的几何要素

2、刻画直线倾斜程度的量

倾斜角 斜率k ktany2y1x2x1

经历了用代数的方法刻画斜率。感受了数形结合思想、分类讨论思想。

(七)布置作业：

经过点P（0，-1）做直线l，若直线l于连接A（1，-2）,B（2,1）的线段总有公共点，求直线的倾斜角和斜率k。

变式1、若经过点P（4,2）呢？

6

变式2、若经过点P（-2,3）呢？

板书设计 直线的倾斜角与斜率

一、倾斜角 三、斜率计算公式 范围0, ky2y1x2x1 随堂练习1 随堂练习二

二、斜率 小结

ktan900,

为钝角时， 作业





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