4.3.2 空间两点间的距离公式优质课一等奖

§4.3.2

空间两点间的距离公式

一、教材分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标

1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法

(1)

由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想. (2)

先推导特殊情况下空间两点间的距离公式. (3)推导一般情况下的空间两点间的距离公式.3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程三、教学重点与难点

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两22点之间的距离是d=(x2x1)(y2y1).同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设P(x,y,z)是空间任意一点,它到原点O的距离是多少？应怎样计算？

③平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和

猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 22讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=xyz. ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. 22④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),是同名坐标的差的平222方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1),即在222原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出22|MN|=(x2x1)(y2y1). 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP22中,|P1H|=|MN|=2(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得222|P1P2|=|P1H||HP2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2).因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)222之间的距离为|P1P2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2). 222于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

（三）应用示例

例1

已知

已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。

A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路. 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).

例2

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明：由两点间距离公式得：

222|AB|=(74)(13)(21)27,

222|BC|=(57)(21)(32)6, 6. 222|CA|=(45)(32)(13)由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形.

例3 在四面体P-ABCA中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。

解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则P（0,0,0），A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）

过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。

∵PA=PB=PC,∴H为三角形ABC的外心。

又∵

三角形ABC正三角形，∴H为三角形ABC的重心，可得点H的坐标为

z

C

C

x

H

P

B

A

P

y

B

A aaa3|PH|(0)2(0)2(0)2a

3333

（四）拓展提升

已知三棱锥P—ABC(如图4),PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.

图3 解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：

以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0). 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=|EB|m3=.∴∠BAE=30°, |AE|3m3即直线AB与x轴所成的较小的角为30°.

（六）课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

（七）作业

习题4.3

A组3,B组1、2、3.