探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课堂实录【1】

“祖暅原理与柱、锥、台、球体的体积”的教学设计

教材：人教版高中数学必修2第二章

一．教材内容分析：

高中数学新课程标准提倡数学探究和数学文化,要求“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容,选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物”.祖暅原理是我国传统数学的一个非常重要的成就.为了使学生受到优秀传统数学文化的熏陶、培养学生的探究能力,高中数学新教材安排了“探究与发现祖原理与柱体、锥体、球体的体积”这样一个研究性专题.本课教学的主要内容是通过“祖暅原理”推导柱、锥、台体及球的体积计算公式及应用。由于学生对长方体的体积计算公式已经比较熟悉，因此教学时可结合长方体体积计算公式及祖暅原理类比推导柱体的体积计算公式，并通过分析柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体、台体、球体的体积之间的关系，体会“数”与“形”的完美结合。

二、学生学情分析

对于高一的学生，在初中阶段学习过正方体,长方体的体积公式,在前两节中学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体和圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体，对空间几何体有了初步的认识。具备了初步的空间想象能力。另外，经过一年的学习，小组合作探究的学习模式在本班已经比较成熟，不足之处是缺乏对公式的推导能力和探究能力。

三、教学目标：

1、知识与技能：

（1）、了解锥体的体积可以通过柱体的体积求得，台体的体积可以通过锥体的体积获得；（2）、了解球的体积公式；

（3）、理解球的面积公式及探求球面积的“积分”思想，通过“准棱锥”的介绍，让学生体会“无穷”、“极限”的思想；

（4）、能运用公式求解有关体积计算问题。

2、过程与方法：通过探究、思考、抽象，培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力。

3、情感、态度、价值观：

（1）、通过“祖暅原理”的介绍培养学生的爱国热情和民族自豪感；

（2）、通过柱、锥、台体体积公式的推导，进一步使学生明确数学概念的来龙去脉，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性以及数学中的和谐美。

四、教学重点、难点：

1、教学重点：柱、锥、台、球体的体积公式推导及其应用；

2、教学难点：（1）、柱、锥、台体积之间的联系；

（2）、球体积与表面积的推导过程；

五、教学准备：多媒体课件，实物模型

六、教学过程：

教师活动

[问题引入] 金字塔，水立方图片展示，引出本节知识内容。

[问题一]：如果一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是什么？

能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？

[问题二]：桌面上放有一堆书，改变一下形状，底面积和高有没有改变？

如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些水平截面的面积有什么关系？

体积有没有改变？

猜想：满足怎样条件的两个几何体的体积相等？

[介绍“祖暅原理”] （板书）

我国早在公元前5-6世纪，祖冲之的儿子祖暅就提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里“幂”就是指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思就是说：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。祖暅不仅首次明确提出这一原理，还成功的将其应用于球体积的推算，我们把这条原理称为“祖暅原理”。祖暅原理在西方文献中称为“卡瓦列利原理”，它是由意大利数学家卡瓦列利提出的，比祖暅提出要晚1100多年。（情感）

长方体的体积公式和祖暅原理是计算其他几何体的基础，下面我们就以这两个知识作为已知的事实来探究柱体、锥体、台体和球体的体积。（板书）

[合作探究]

探究一、柱体的体积计算公式

[问题三]：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆学生活动

（讨论回答）没有

处处相等

没有

思考，尝试回答）

设计意图

1、回顾长方体的体积公式，为后面求柱体的体积作好铺垫；

实物演示，让学生直观感知

2、引出“祖暅原理”，并通过介绍“祖暅原理”，激发学生的爱国热情和民族自豪感，也为求空间几何体体积作好铺垫

使用“祖暅原理”柱）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？

（教师演示棱柱、圆柱的形成过程）

[问题四]：长方体的体积计算公式能否推广到一般的棱柱（圆柱）体积的计算呢？

[小结1]、柱体的体积计算公式：

[说明]：对直棱柱而言，高就等于侧棱长，斜棱柱则不是。

探究二、锥体的体积计算公式

[问题五]：两个底面积相等、高也相等的棱锥（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？

（演示水平截面的特征）

【问题六】：你能找出三棱锥和与它同底等高的三棱柱体积之间的联系吗？

（演示把一个三棱柱分成三个体积相等的棱锥的过程，引出棱锥的体积计算公式）

[小结2]：锥体的体积计算公式：

探究三、台体体积的计算公式

[问题7]：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？

（引导）

[小结3]：

（学生讨论回答）

棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，水平截面与底面是全等的多边形（圆），当底面积相等时，水平截面的面积也相等，符合祖暅原理，因此他们的体积相等。

可以，只要使长方体的高与底面积分别与他们相等就可以了。

（学生讨论）

符合祖暅原理，所以他们的体积相等。

（学生讨论，得出关系）

小组合作探究

学生代表展示讨论结果

解释体积的关系

几何画板演示,形象直观的演示截面面积相等

体现从特殊到一般的思想方法

几何画板演示,形象直观的演示截面面积相等

体现柱体和锥体体积之间的联系

[问题8]：柱体、锥体、台体的体积公式之间有（生讨论，得出如下结论）

什么关系？

（当台体的上底面不断变大，趋向下底面时，几何体就逐渐趋向柱体，当面积相等时，量变

引起质变，几何体就成为了柱体，在公式上反映了他们之间的内在统一；台体到锥体同样可

得）

学以致用

例1：如图，在长方体

ABCDABCD中，截下一个棱锥

CADD,求棱锥的体积与剩余部分的体积

之比。

学生练习,板演,展示学习效探究四、球体积的计算公式

果

[问题9]：一个底面半径和高都为R的圆柱，挖 去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的

半球的体积有什么关系？

（引导注意水平截面的形状，怎样计算水平截

面的面积）

水平截面分别是圆环和小你能从中得到球体积的计算公式吗？

圆

[小结4]：

[学以致用] 例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。

，

所以

体现锥体和台体体积之间的联系

体现数学的和谐与统一，体会数学美以及极限思想

练习巩固柱体,锥体的提及体积公式以及割补思想,换底思想,检验学生学习效果

提高运用所学知识解决问题的能力

画出奖杯的水平直观图

并计算体积

所以这个奖杯的体积为

[回顾反思]

1、本节课我们主要学习了哪些知识？

2、还记得我们推导这些公式的原理吗？

祖暅从身边的数学中得到启发，通过长期的观察、思考、实践，取得了重大的成就。

只要你多留心身边的数学，只要你敢于大胆的去探究、尝试，你必定会获得巨大的收

反思提升：

多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们可以用展开几何体的方式得到，球能展开吗？你能否用我们今天学到的球的体积公式得到球的表面积公式呢？

柱体、锥体、台体和球体的体积计算公式

化归思想、极限思想.

课下思考,解决问题

组合体的体积计算

总合运用所学知识解决问题

回顾本节课内容，巩固知识，启发学生贴近生活，留心身边的数学问题

拓展知识,开拓思维

七、板书设计：

空间几何体的体积

祖暅原理：幂势既同，则积不容异

球体积：