3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计说课稿

3.1.2从斜率的角度判断两直线的位置关系

勃利县高级中学数学组：杜际斌

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，深化直线的倾斜角、斜率的认识，理解倾斜角，斜率是直线的方向性特征，并由此思考与延伸，两条直线之间的特殊的方向性关系：平行与垂直．利用倾斜角与斜率来表示这两种特殊的关系，加强培养数形结合的数学思想．

（二）学习目标

1．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直．

2．通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

（三）学习重点

1．数形结合意识与能力的培养．

2．两条直线平行和垂直的条件．

3．培养学生运用已有知识解决新问题的能力．

（四）学习难点

1．由形到数的数学思维的变化．

2．启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系．

3．对于特殊的直线，要特殊的处理，一般化问题与特殊化问题的关系．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第86页至第89页，填空：

我们约定：在没有特别说明的情况下“两条直线l1，l2”一般是指两条不同的直线．

当直线l1，l2的斜率存在时，l1Pl21＝2k1＝k2．

当直线l1，l2的斜率不存在时，l1l21＝2＝900．

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当直线l1，l2可能重合时，k1＝k2l1l2．

或l与l重合12当直线l1，l2的斜率存在时，l1l2k1k2＝-1．

当直线l1或l2的斜率不存在时，l1l2k1不存在且k2＝0．

2．预习自测

（1）经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝_________. 【答案】4 a＋1【解析】由题意，得tan45°＝，解得a＝4. 3＋2（2）下列命题中正确的为（

）

①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；

②如果两直线平行，则它们的斜率相等；

③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；

④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1. A．①②③④

B．①③

C．②④

D．以上全错

【答案】B 【解析】当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．

（3）已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为（

）

A．(2,0)

B．(0,2)

C．(0,1)

【答案】B 【解析】设l2与y轴交点为B(0，b)，

∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1. ∴kOAkAB＝－1. ∴1－0b－1×＝－1，

1－00－1D．(1,0)

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解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）让学生描述直线倾斜角的定义范围．

（2）默写斜率与倾斜角的关系，描述随倾斜角变化斜率的变化情况．

（3）默写斜率与坐标的关系式．

2．问题探究

探究一

研究两条平行直线的斜率的关系

●活动①

课堂任务，小组讨论研究两平行直线的斜率的关系．

分小组研究两平行直线的斜率的关系，展示和讲解研究成果，不同小组之间补充完善．

【设计意图】合作学习，体验知识的产生过程，完善和严谨数学思维．

●活动②

例题解答，学生展示解答过程

例1

已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，1），Q（－1，2），判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 【知识点】斜率与坐标的关系，平行与垂直的斜率关系．

【数学思想】

【解题过程】直线BA的斜率kBA=30=0.5，

2(4)直线PQ的斜率kPQ=21=0.5，

1(3)因为kBA=kPQ.所以直线BA∥PQ.

【思路点拨】计算斜率来判断．

【答案】直线BA∥PQ．

【设计意图】通过例题解答，理解和掌握两平行直线的斜率的关系．

●活动③

变式训练，加深对知识的理解．

变式训练一：过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线l1与过点A(3,6)，B(－m，2)的直线l2平行，求m的值．

【知识点】斜率与坐标的关系，平行直线的斜率关系．

【数学思想】

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【解题过程】l1∥l2

，由斜率公式4m4，得m＝1,或者m＝－4 =m＋2m＋3当m＝1时，P(－2，1)，Q(1,4)，kAP=kPQ，

A，P，Q三点在同一直线上，

l1与l2为同一条直线，不满足条件．

当m＝－4时，满足条件，所以m＝－4 【思路点拨】两直线平行，则斜率相等．

【答案】m＝－4．

【设计意图】变式训练，加深对知识的理解，训练数学思维的严谨性

探究二

研究相互垂直的两条直线的斜率的关系

●活动①

课堂任务，小组讨论研究相互垂直的两条直线的斜率的关系．

分小组研究相互垂直的两条直线的斜率的关系，展示和讲解研究成果，不同小组之间补充完善．

【设计意图】合作学习，体验知识的产生过程，完善和严谨数学思维．

●活动②

例题解答，学生展示解答过程

例2：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,3)，D(2,4),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

【知识点】斜率与坐标的关系，平行直线和垂直直线的斜率关系．

【解题过程】四边形ABCD是矩形. 1AB边所在直线的斜率kAB, 21CD边所在直线的斜率kCD=

2BC边所在直线的斜率kBC=2,

DA边所在直线的斜率kDA=2. 因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 又kABkBC=-1,所以四边形ABCD是矩形. 【思路点拨】计算斜率．

【答案】四边形ABCD是矩形．

【设计意图】通过例题解答，理解和掌握两直线平行与两直线垂直的斜率的关系．

●活动③

变式训练，加深对知识的理解．

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3π变式训练二：已知直线l的倾斜角为4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，求a＋b的值．

【知识点】斜率与坐标的关系，平行直线和垂直直线的斜率关系．

【解题过程】l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝1，a＝0．

2由l1∥l2，－b＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2．

【思路点拨】计算斜率．

【答案】a＋b＝－2．

【设计意图】变式训练，加深对知识的理解和掌握．

（三）课后作业

教材第89页

A组第3至6题

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