3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt配套的教学设计及说课稿

3.1

直线的倾斜角与斜率

一、教学目标：

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

二、问题导学

知识点一

直线的倾斜角

思考1

在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

答案

不能．

思考2

在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

答案

不同．

梳理

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

知识点二

直线的斜率与倾斜角的关系

升高量思考1

在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？

前进量

32答案

不同，因为≠. 22

思考2

思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？

答案

存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

(范围)

斜率

(范围)

知识点三

过两点的直线的斜率公式

y2－y1直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x≠x)．

x2－x112三、题型探究：

类型一

直线的倾斜角

例1

设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋40°

B．α－140°

C．140°－α

D．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°

答案

D 解析

根据题意，画出图形，如图所示：

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

k＝0

k>0

不存在

k<0

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；

当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 反思与感悟

(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

变式1

已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为

．

答案

60°或120°

解析

有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 类型二

直线的斜率

例2

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．

解

(1)存在．直线AB的斜率kAB＝5－3＝1，即tan α＝1，

4－2又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝135°. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟

(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α

斜率k

变式2

如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

0°

0

30°

3

345°

1

60°

3

120°

－3

135°

－1

150°

－3

3－1－3＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α2－－2

解

设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．

由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以

－1－23－2－22－2k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0. －2－354－3－3－3由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°. 类型三

直线的倾斜角、斜率的应用

命题角度1

三点共线问题

例3

如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．

解

kAB＝m－11－m8－17＝，kAC＝＝，

4－2－26－24∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

即1－m7＝，∴m＝－6. 44反思与感悟

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．

变式3

已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

由题意可得2m＝2，解得m＝1. 命题角度2

数形结合法求倾斜角或斜率范围

例4

直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．

解

如图所示．

1－03－0∵kAP＝＝1，kBP＝＝－3，

2－10－1∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°. 反思与感悟

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．

y2－y1(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x≠x)求解．

x2－x112(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．

变式4

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．

解

如图所示．

当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围15是7，3. 四、课堂训练

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

①②③正确．

2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(

) A．2

B．1

C．－1

D．－2 答案

A

2－3解析

tan 45°＝，得m＝2. 1－m13．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m的值为

．

29答案

2解析

设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝2＝－(m－2)．

5∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，

29即－1＝－(m－2)，解得m＝. 524．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是

．(其中m≥1) 答案

(0°，90°] 解析

当m＝1时，倾斜角α＝90°，

3－2当m>1时，tan α＝>0，

m－1∴0°<α<90°，故0°<α≤90°. 5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．

6－3解

l2的斜率为＝1，

8－5∴l2的倾斜角为45°，

由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°. 3－2m－2＝－1，kBC＝12－3－32五、规律方法

直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

0°<α<90°

k>0

k随α的增大而增大

垂直于x轴

90°

不存在

90°<α<180°

k<0 k随α的增大而增大

0°

0

α的大小

k的范围

k的增减情况

六、课后作业

1．下列说法中正确的是(

) A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角

B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]

C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°

D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率

答案

D 解析

倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角，故选项A不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B不正确；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，故选项C不正确．

2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为(

) A．60°

B．120°

C．30°

D．150°

答案

D 解析

两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l1的倾斜角为60°知，l2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

答案

A 2＋3－23解析

由题意知k＝＝，

34－1∴直线的倾斜角为30°. 4．已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线l的倾斜角为(

) A．60°

C．60°或120°

答案

C 解析

由题意知|tan α|＝3，

即tan α＝3或tan α＝－3，

∴直线l的倾斜角为60°或120°. 5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为(

) A．(1,3)、(5,7)、(10,12)

C．(0,2)、(2,5)、(3,7)

答案

C 解析

A、B、D三个选项中三点均共线．

6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(

)

B．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) D．(1，－1)、(3,3)、(5,7) B．30°

D．30°或150°

A．k1

B．k3

C．k3

D．k1

答案

D 解析

由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，

且l2比l3的倾斜角大．∴k1

) A．α

C．180°－α或90°－α

答案

D 解析

如图所示，当l方向向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D. B．180°－α

D．90°＋α或90°－α

8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(

) 1A．2

B．1

C.

D．0 2答案

A 解析

如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.

119．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于

．

ab1答案

2解析

由于A，B，C三点共线，所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，于是有2－b21111＝，由此可得a＋b＝ab，两边同时除以ab，得＋＝. 22ab22－a10．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标

为

．

答案

(3,0)或(0,3) 0－2解析

由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则＝－1，解得m＝3；若Pm－1n－2点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．

0－111．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是

．

答案

(－2,1) 解析

由题意知，kAB＝2t－1＋tt－1＝. 3－1－tt＋2因为直线的倾斜角为钝角，

所以kAB＝t－1<0，

t＋2解得－2

．

答案

[0°，45°]∪(90°，180°) m2－1解析

直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 1－2若l的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；

当tan α<0时，90°<α<180°. ∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．

13．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1)．

(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

解

(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，

2m＋5－12m＋4即k＝＝>0，

5m＋3－m－2解得m>－2. (2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，

2m＋5－12m＋4即k＝＝<0，

5m＋3－m－2解得m<－2. (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线

MN的倾斜角不可能为直角．

14．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为(

) A．[C．[3，3] 33，＋∞) 3B．[0，3]∪[3，＋∞) 3D．[3，＋∞) 答案

A 15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．

解

考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，

由题意知tan α1＝1，tan α2＝－3，

3故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，

根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.