2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案设计

两个平面平行的性质

●教学目标

(一)教学知识点

1．两个平面的位置关系．

2．两个平面平行的判定方法．

(二)能力训练要求

1．等价转化思想在解决问题中的运用．

2．通过问题解决提高空间想象能力．

(三)德育渗透目标

1．渗透问题相对论观点．

2．通过问题的证明寻求事物的统一性．

●教学重点

两个平面的位置关系；两个平面平行的判定．

●教学难点

判定定理、例题的证明．

●教学方法

启发式

在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．

平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．

通过师生互议，解决例1问题．

●教具准备

投影片两张

第一张：(记作§9．5．1 A)

第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．

性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．

立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．

下面继续研究面面位置关系．

Ⅱ．讲授新课

1．两个平面的位置关系

除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．

［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．

［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．

观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．

结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．

定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．

如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．

两个平面的位置关系只有两种：

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线．

［师］两个平面平行，如平面和平面平行，记作∥．

下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？

［生］图(1)较直观，图(2)不直观．

［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

［生］画两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，图(2)不直观的理由是表示平面的平行四边形对应边不平行，其画法不恰当．

［师］现在给出两个相交平面的画法(师生互动)：

(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边．

(2)再画出表示两个平面相交的线段．

(3)过线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中线段．

(4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边．

(被遮住部分的线，可以用虚线，也可以不画．)

(二)课本P32

习题1，2．

1．在立体图ABC-A′B′C′中，如果在平面AB′内∠1＋∠2＝180°，在平面BC′内∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC和A′B′C′有什么关系？为什么？

［此题应实现两个转化：

一是角的关系转化成线的平行；

二是线的平行转化成面的平行．］

解：平面ABC∥平面A′B′C′．证明如下：

因在平面ABB′A′内∠1＋∠2＝180°，

则有A′B′∥AB，A′B′∥面ABC．

又在平面BCC′B′内，∠3＋∠4＝180°，

则有B′C′∥BC，B′C′∥面ABC．

又A′B′∩B′C′＝B′，A′B′面A′B′C′，

B′C′面A′B′C′，

那么面A′B′C′∥面ABC．

2．在立体图ABC-A′B′C′中，如果∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°，那么平面ABC与面A′B′C′有什么关系？为什么？

［此题解决方法同上，利用等价转化解决问题．

一是将角的关系转化为线线垂直，二是将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直转化为面面平行．］

解：面ABC∥面A′B′C′，证明如下：

因∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°

则AB⊥BB′，BC⊥BB′，A′B′⊥BB′，B′C′⊥BB′

那么有面ABC⊥BB′，面A′B′C′⊥BB′

故面ABC∥面A′B′C′．

Ⅳ．课时小结

本节课主要研究如何证明两个平面平行．其途径可以选择从公共点的角度考虑．但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”、“平行”要求．例1也可作为结论直接运用．

Ⅴ．课后作业

(一)课本P33

习题3、4、5．

3．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例(画出草图)．

(1)平行于同一直线的两平面平行；

(2)平行于同一平面的两平面平行．

解：

(1)是假命题．

平行于同一直线a的两面、可以相交．

(2)是真命题．

证：作l⊥则由题l⊥，l⊥，故∥．

4．(1)如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA′BB′CC′．求证：平面ABC∥平面A′B′C′．

证明：因AA′BB′，

所以有ABB′A′是平行四边形．

那么A′B′∥AB．

同理A′C′∥AC，又AB∩AC＝A，A′B′∩A′C′＝A′，

故面ABC∥面A′B′C′．

［该问题所给图实质上就是三棱柱，上、下两底面平行．］

(2)如图，直线AA′、BB′、CC′交于点O，AO＝A′O，BO＝B′O，

CO＝C′O，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．

证明：因AA′与CC′相交于O，

∴

∠AOC＝∠A′OC′．

又AO＝A′O，

CO＝C′O，

故△OAC≌△OA′C′．

则∠C′AO＝∠CAO，

即AC∥A′C′．

那么AC∥面A′B′C′．

同理AB∥面A′B′C′．

故平面ABC∥平面A′B′C′．

［此题的图形是两个棱锥拼成的，注意其结构，证明中主要渗透等价转化思想．］

5．求证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

证明：经过平面外一点P作l⊥，

经过点P作平面，使l⊥，则∥．

因经点P且与平行的平面必与的垂线l也垂直．

而过点P与l垂直的平面是唯一的，

所以过点P且与平行的平面只有一个．

［这是一个唯一性命题的证明，注意证明过程每步依据．］

(二)1．预习内容课本P31

3．两个平面平行的性质．

2．预习提纲

(1)两个平面平行后具有什么性质？

(2)试利用转化的思想归纳小结．

●板书设计

§9．5．1

两个平面平行的判定和性质(一)

1．两个平面的位置关系

2．两个平面平行的判定

例题的结论

练习

小结

作业

●备课资料

一、空间的两个平面位置关系

［例1］已知平面平行平面，若两条直线m、n分别在平面、内，则m、n关系不可能是(

)

A．平行

C．异面

B．相交

D．平行或异面

解析：从公共点的角度分析可知，m、n所在平面平行，则两面无公共点，那么两线也应无公共点，故该两线平行或异面．

答案：B

［注意题中是“不可能”］

［例2］平面内两线a、b都平行于，则与的关系(

)

A．平行

C．重合

B．相交

D．不确定

解析：当两线相交时，∥，当两线平行时∥或与相交．

答案：D

二、判定两面平行

判定两个平面是否平行，可从以下角度思考．

(1)面面平行定义．

两个平面没有公共点．

(2)面面平行的判定定理．

如果一个平面内有两条相交线都平行于另一平面，那么这两个平面平行．(线面平行面面平行)

(3)垂直于同一直线的两面平行．

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个面平行．

［(5)一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行．(线线平行面面平行)］

［例4］如图，在空间六边形(六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1．证明平面A1BC1∥平面ACD1．

分析：空间四边形问题的解决是将其转化为一三棱锥问题而解决的，那么空间六边形可转化哪种几何体，这是解决该问题的关键所在，通过两条边边长均等于a，两线成角为90°，两个平行及垂直关系解决问题．

解决问题的主要思想就是等价转化，将问题转化为一个正方体中两面平行，这就容易多了．

证明：在面ABC内分别经A、C作AB及BC的平行线相交于D，在面A1D1C1内作D1C1及D1A1的平行线相交于B1，顺次相连BB1、DD1．

那么由相邻两边垂直及边长均为a可知构造几何体为正方体．

因AC∥A1C1，BC1∥AD1，

∴

面A1BC1∥面ACD1