习题4.1名师教学设计2

公开课：《圆和圆的切线相关问题探讨》教案

目标: 1. 直线方程x0xy0yr2所表示的三种几何意义. 2.深挖教材,发现规律,过程中训练思维, 体验数学之奥妙. 3.用研究过的问题或方法解决后面的问题. 重点：目标2、3 难点：目标2 关键：思维的启发

教法：先练后讲

思想方法：数形结合，一题多解，多题一解

教学过程：

（一）复习:一.圆的切线有多少种用法? 1.切线和过切点的半径垂直勾股定理

2.圆心到切线的距离等于半径

3. 切线和过切点的半径斜率的乘积等于1

4. 切线和过切点的半径相应向量坐标点乘等于0 5.联解切线与圆的方程组0(运算复杂) 复习二.设而不求韦达定理

（二）新课：例1,已知圆x2y2r2,求过圆上一点Px0,y0的切线l的方程. 用多种方法解

法1:解:设切线l的斜率为k,半径OP的斜率为k1. 因为lOP,于是k1

k1

k1y0

x0x0

y0x0xx0

y02

k

l的方程为:yy0

2化简得: x0xy0yx0y0

因为点Px0,y0在圆上,所以x0y0r2,所以切线的方程为:x0xy0yr2

22当Px0,y0在坐标轴上时,可以验证上面方程同样实用.

法2:设切线方程为:yy0

kxx0化为一般式得:kxyy0kx00

根据圆心到切线的距离等于半径得:y0kx022k00y0kx0k12r

2r2k21,而且点Px0,y0在圆上,r2x0y0

2222y02kx0y0k2x0(x0y0)k21

整理得:k2y02kx0y0x00

22ky0x020,k

x0

y0x0xx0

y0l的方程为:yy0

22化简得: x0xy0yx0y0

因为点Px0,y0在圆上,所以x0y0r2,所以切线的方程为:x0xy0yr2

22当Px0,y0在坐标轴上时,可以验证上面方程同样实用.

法3:轨迹法, 设点M(x,y)是所求切线上任意一点.则PMOP. PM(xx0,yy0)且OP(x0,y0)

根据PMOP0得: (xx0,yy0)(x0,y0)=0 整理得: x0xy0yx0y0

因为点Px0,y0在圆上,所以x0y0r2,所以切线的2222方程为:x0xy0yr2

当Px0,y0在坐标轴上时,可以验证上面方程同样实用.

法4,勾股定理

设点M(x,y)是所求切线上任意一点,则OM2OP2PM2

根据两点距离公式把动点M(x,y)代入整理得轨迹方程为x0xy0yr2

例2,已知圆x2y2r2,点Px0,y0不在圆上,过P作圆的切线PA和PB,切点分别为A,B.求切点弦AB所在直线方程.

分析:法1, 设过点Px0,y0的切线的方程为yy0

kxx0

化为一般式得:kxyy0kx00

. 用圆心到切线的距离等于半径:

求出斜率k有两个值. 从而求出切线PA,PB的方程, 联解切线与圆的方程组求出切点A,B的坐标. 用A,B两点的坐标可写出切点弦AB的方程. k不存在时,可以验证上面方程同样实用.

法2, k00y0kx0k12r

因为OAPOBP1800,所以O,A,P,B四点共圆, xy22OPx0y0为直径,OP中点C0,0为圆22心.

2222xyxy0圆C的方程为x0y00

224切点弦所在直线就是经过两圆交点的直线

根据教材79页9题的解法

用圆O和圆C的方程相减所得二元一次方程就是切点弦所在直线的方程. 法3, 此题与例1有没有关系? 可不可以考虑用例1的结果研究此题呢? 必须用切点A,B

利用切点A,B的坐标写出切线的方程

设切点A(x1,y1),B(x2,y2)

则PA的方程为x1xy1yr2

PB的方程为x2xy2yr2

还可继续研究吗? Px0,y0在两条切线上,于是

x1x0y1y0r2且x2x0y2y0r2

发现:A(x1,y1),B(x2,y2)满足一个共同的二元一次方程,这个方程是什么? x0xy0yr2

这个方程就是所求切点弦所在的直线方程吗?为什么? 例3, 已知圆x2y2r2,点Px0,y0不在圆上,过P作任意直线与圆相交于A,B两点,分别过这两点作圆的切线,两条切线相交于点M.求点M的轨迹方程. 分析:先同学们自己想一想? 法1, 设M(x,y), 设AB方程为yy0

kxx0, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),(设而不求) 根据例1得

MA

方程为x1xy1yr2, MB方程为x2xy2yr2

x连解MB与MA的方程组得交点Myr2y2y1y2x1y1x2rx2x1x2y1x1y22(1) 又点A(x1,y1),B(x2,y2)满足直线AB的方程,则

y1y0

kx1x0,y2y0

kx2x0

即y1kx1kx0y0,y2kx2kx0y0代入(1)式

y2y1k(x2x1)

y2x1kx2x1kx0x1y0x1

y1x2kx1x2kx0x2y0x2

y2x1y1x2kx0(x1x2)y(x1x2)(kx0y0)(x2x1)

r2kxkx0y0化简得点M(x,y)轨迹的参数方程

2yrkx0y0消去参数k得点M的轨迹方程x0xy0yr2

k不存在时,可以验证上面方程同样实用.

法2,用例2的解法2 xyxy1设M(x1,y1),以MO为直径的圆的方程为x1y11

224与圆O的方程x2y2r2相减

得公共弦(也是切点弦)AB所在直线的方程x1xy1yr2

2222Px0,y0

在直线AB上,代入得x1x0y1y0r2

这就是动点M(x1,y1)所满足的轨迹方程, 按习惯改写为x0xy0yr2

然后提示此题与例2有没有关系? 可不可以考虑用例2的结果研究此题呢? 法3,设动点M(x1,y1)

则切点弦AB所在直线方程为

x1xy1yr2

而点Px0,y0在直线AB上,

x1x0y1y0r2

这就是动点M(x1,y1)所满足的轨迹方程, 按习惯改写为x0xy0yr2

（三）小结:1.以上研究中涉及了那些解题方法

研究圆的切线的4种主要方法

直线与圆的交点的设而不求法

2.以上圆和圆的切线的三个结论就是三个定理

3.三个定理研究的内容完全不同,而结果的形式却完全一样,数学真奇妙

4.用以上定理的研究方法和结论可帮助我们解决很多相关问题

(四)训练

1.写出过圆x2y210上一点M2,6的切线方程. 2. 已知圆x2y25,过P4,1作圆的切线PA和PB,切点分别为A,B.求切点弦AB所在直线方程. 3. 已知圆x2y25: (1)过P4,1作任意直线与圆相交于A,B两点,分别过这两点作圆的切线,两条切线相交于点M.求点M的轨迹方程. (2)过直线4xy50上任意一点P作圆的两条切线PA和PB,切点分别为A,B.求切点弦AB所在的直线必经过的一个定点. 4.已知曲线x2y21和直线y2,点P(t,2)在直线y2上运动,过点P作曲线的两条切线,切点为A,B.线段AB的中点为M.求点M的轨迹方程.

解:设点M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2x2则

yy1y22联想设而不求韦达定理

切点弦AB的方程为tx2y1①

与圆O的方程x2y21②连解. ①式ytx1代入②式整理得2t24x22tx30且t240,16t2480则x1x2tx11tx1t(xx2)242,y22

y1y21222t42t

t24又y1txt24所以点M(x,y)轨迹的参数方程为

2yt24消去参数t的点M的轨迹方程为x2y2y0

2

(2007年内江二摸)把x22py(p0)改为x2y21,yb(b0)改为y2

5.(2005年江西高考)设曲线: x2y21.动点P在直线xy20上运动,过点P作曲线的两条切线,切点为A,B.求三角形ABP的重心G的轨迹的参数方程. (2005年江西高考)把yx2改为x2y21,”求轨迹方程”改为”轨迹的参数方程”

解:设点G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2tx3则

yyt22y13联想设而不求韦达定理

切点弦AB的方程为tx(t2)y1①

与圆O的方程x2y21②连解

①式x(2t)y1代入②式整理得t2t24t4y2(42t)y1t20

2且2t24t40,42t4(2t24t4)(1t2)0则y1y2t2

2t2t2又x1

(2t)y11(2t)y21(2t)(y1y2)22t2,x2

x1x2tttt2t2t(t22t4)x3(t22t2)所以点G(x,y)轨迹的参数方程为

2y(t2)(t2t3)3(t22t2)