阅读与思考 笛卡儿与解析几何教案设计（一等奖）

人教A版必修2第三章阅读与思考

笛卡尔与解析几何

设计者：卢

林

一、

教材分析

“笛卡尔与解析几何”是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修二第三章第3.3节的内容，是阅读与思考的内容。在本节内容之前依次是空间几何体、点线面的位置关系、直线与方程，它的后面是圆与方程，本节之前是几何，本节之后也是几何，同时在必修一中学生已经学过了函数问题，必修四中学过向量知识，初中已经学过在坐标系中研究代数问题；因此，本节课的意图是要学生明确解析几何的来龙去脉，同时要让学生意识到几何与代数之间是有深刻联系的；同时还要让学生意识到解析几何中的思想方法，始终贯穿在整个高中阶段，在我们的解题或者是生活中都是必不可少的，另外，本节课的内容也为学生学习后面的圆、圆锥曲线和极坐标以及大学所学的空间解析几何提供最基本的学习策略和解决问题的方向。

本节阅读材料“笛卡尔与解析几何”先分析了笛卡尔创建解析几何的背景和原因，然后简单叙述了笛卡尔创建解析几何的过程，最后说明了解析几何的意义和它的结构特征。同时指出费马也是解析几何创建人之一，因此本节课的设计安排是要让学生明确解析几何的来龙去脉，理解解析几何中数形结合的基本思想，体会解析几何创建的意义，知道学习解析几何的基本方法。另外这种设计还要让学生从系统、全面的角度去了解解析几何，感受笛卡尔在创建解析几何中所体现出来的精神品质。

本节阅读材料是对解析几何进行了宏观、全面的描述，并没有突出解析几何基本的方法—坐标法。另外学生学习了本节阅读材料，知道笛卡尔创建解析几何，但是学生不知道笛卡尔具体是怎么创建解析几何的。因此，我把笛卡尔创建解析几何用一道经典高考题进行了重点突出。

二、

学情分析

本节课的授课对象是高二（8）班，根据合肥地区的教学顺序安排，学生已经已经先后学习了必修一，必修四，必修五，必修三，必修二前面章节，对解析几何有了一个宏观的认识，但是对解析几何的认识还不够深刻，学生仅仅停留在单纯做题的角度，尤其缺乏对解析几何文化和建立解析几何过程的了解，更谈不上对数形结合的思想在解析几何中深刻的认识。因此，本节课很有必要让学生进行学习。

本节阅读材料虽然比较系统和全面，但是学生阅读材料之后并不能对背景和意义产生深刻的认识，同时对笛卡尔创建解析几何的过程会产生不清晰的困惑，也不能理解为什么恩格斯对解析几何有如此高的评价。

虽然高二学生具有一定的综合分析解决问题的能力，但整体的思辨能力还不强。因此，为了解决

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以上全部问题，让学生课前上网查阅笛卡尔与解析几何的相关资料，补充坐标法解决向量问题，课中采用合作讨论、探究的教学方法等，帮助达到教学目的。

三、

教学目标

（1）了解笛卡尔创建解析几何的背景和过程，以及解析几何的意义和特征；

（2）通过学生课前准备，小组合作讨论，向量计算问题的具体解决以及几何画板教学的辅助，让学生深刻理解解析几何的基本思想方法，知道如何去学好解析几何；

（3）通过了解解析几何相关背景和过程，让学生体会数学家们坚持不懈、探索创新的精神品质，在小组讨论与合作的过程中，培养合作交流的意识以及团队协作精神。

教学重点：解析几何的创建过程以及所蕴含的基本思想方法和特征。

教学难点：认识解析几何的创建过程和利用坐标法解决几何问题。

四、教学方法：小组合作讨论、问题展示交流，教师启发诱导、归纳总结。

五、教学准备：几何画板、多媒体信息技术、学生课前查阅、导学案、固学案。

六、教学过程

教学环节

【活动一】创设情境

教师提活动一的目教

学

过

程

师

生

活

动

设

计

意

图

创1990年上海的一道经典高考语文题：你能用一

句话（单句）将右边的图设形通过固定电话，准确的

告诉对方吗。情（请2-3个学生回答问题）

境学生：A...;

学生:B... 问，学生的在于激发学生思考，并的学习兴趣；引在学生展出学做思二的内示回答容；揭示本节课中，引出的主题。

坐标系的概念和笛教师：（请问你为什么想到要去建立坐标系？—卡尔

—因为坐标系具有精确性）

当年上海的育才中学，全校只有2个学生做对，答案五花八门：这是一个锯齿形图案、E图案、山字竖起来。标准答案：这是一个连接（1，1）、（4，1）、

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（2，2）、（4，3）、（3，5）、F（4，7）、（1，7）顺次构成的闭合图形。

关键是点的位置，也就是坐标，请问坐标系是谁建立的？（笛卡尔）

老师：恩，很好，这就是我们今天要学的主题——笛卡尔与解析几何。

【活动二】笛卡尔的生平故事有哪些？

教师：（请一个小组来分享他们课前查阅整理的

学生展示交流、分享、体会。

活动二的目的在于了解笛卡尔生平故事；感受笛卡尔优秀品质——勤奋好学、坚持不懈、勇于探索、献身真理、贡献他人、敢于

笛卡尔的生平资料）

预设学生介绍笛卡尔的情况

（1）笛卡尔

Descartes，

（

1596—1650），法国

名的哲学家、数

著

学家、物理学家，解

几何学奠基人之析探一。笛卡尔生于法国西部都兰群拉哈小城的一个贵族

家庭。他8岁时进耶稣学校拉弗莱什公学学习，由于

他自幼聪明好学，很得到家长和老师的喜欢。1612年，究他到巴黎普瓦捷大学攻读法律，四年后荣获博士学位，

不久成为一名律师。1618年他前往荷兰从军。服役、

期间，他仍对数学感兴趣，阅读了大量有关数学、物教师倾听批判与创新；让新理学的书籍。1621年，笛卡尔脱离了军队，但由于当提问，引学生学会多种渠

时正逢内乱，他于是就到了丹麦、德国、意大利等地。出反思。

道进行学习；

1628年笛卡尔移居荷兰，他的前半生基本上都是在荷知兰度过的，他所有著作几乎全是在荷兰完成的。后被

瑞典克里斯蒂娜女王请到斯德哥尔摩，直到去世。他的主要著作有：《指导哲理之原则》、《论世界》、《方法论》、《形而上学的沉思》、《哲学原理》、《论音乐》、《论巴尔扎克的书简》等。

笛卡尔童年坎坷不幸，母亲在生笛卡尔的时候难产去世，他也险些夭折，且从小瘦弱多病，只好躺着

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看书，因此也养成了躺着思考问题的习惯。笛卡尔一生专心致志，温和善良，坚持科学，不迷信宗教而招致教学会的迫害，1647年，梵蒂冈把笛卡尔的著作列入“禁书”清单，宣布限期全部焚毁。

由于笛卡尔在数学和哲学上的成就如此巨大，以至于深受全世界正义人民的无限崇敬，他去世17年后，法国政府下令把他的骨灰迎回法国，安葬在潘提翁伟人墓地；1799年又把他的骨灰放在法国历史博物馆，1819年又把骨灰保存在圣日尔曼圣心堂，并在他的墓碑上刻上：笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，为人类争取并保证理性权利的第一人。

（2）笛卡尔的爱情故事…

反思：我们应该向笛卡尔学习哪些优秀品质？

勤奋好学、坚持不懈、勇于探索、献身真理、贡献他人、敢于批判与创新等

教师

活动三的目提问，补的在于让学生进充，引导一步了解解析几分析，追何的产生的背景【活动三】笛卡尔创建解析几何的过程是怎样的？（请1个小组学生分享他们整理的资料）

问题导入：（2015四川高考7）设四边形ABCD为平问，学生和过程，并体会

，

，若点M、N满足关展示交帕波斯问题的解行四边形， ，

，则

系

=（

）

A.25

B.15

C.9

D.6

和

，

进行表分析：此题标准做法使将

用

示，进而结合向量运算法则进行计算，表示过程较为繁琐，容易出错，很多学生都不熟练，而且本题也不具备建立坐标系的条件（垂直）。但是根据答案的唯一性，可以将平行四边形特殊化为矩形（和题设毫无冲突），计算过程非常便捷。

教师：预设学生介绍创建过程可能：

（1）16世纪，资本主义经济发展迅猛，各种新兴流，思考决引发的转折分析，归点，在归纳总结纳总结。

帕波斯的基本步

骤中体会解析几何产生的意义和解析几何的基本思想，让学生真真切切的去感受解析几何的基本思想和创建解析几何的意义，从学生而突出重点，突行业对科学技术提出了全新的要求，如机械的普遍使独立思破难点。

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用引起了对机械运动规律的研究，武器的进步刺激了考，小组弹道学的研究，运动与变化的研究成为自然科学的中会的同学心课题，当时的初等数学刻意追求抽象，代数内容缺给不会的乏直观，欧氏几何缺乏动感和想像力，传统的数学工同学讲具对某些运动问题已经无能为力；天文学的迅猛发展，解，一起如开普勒发现行星运动三大定律、伽利略研究抛射物合作，探的运动轨迹、望远镜显微镜中镜片的研究等，需要对究，交流，曲线性质及新曲线进行研究。

预设（2）创建可能…

教师补充：

笛卡尔对当时的几何方法和代数方法进行了比较，分析了它们各自的优缺点，他认为欧氏几何刻意追求抽象和技巧，而代数在提供广泛的方法论方面高于欧氏几何，于是梦寐以求用代数改造几何，他曾计划写一本书《思想的指导法则》，书中提出一个大胆的方案：一切问题都可以化为数学问题，一切数学问题都可以化为代数问题，一切代数问题都可以化为含有一个未知数的方程问题。但不久之后他发现这个设想过于大胆（该书没有写完就放下了，他去世后人们将它出版），他的这个方案虽然失败了，但确有很多讨论，展示分享。

学生

让学生在此领悟解析几何的特点和思想

体会解析几何解决问题的基问题可以用列方程的方法来解。笛卡尔把方程用于几观察、发何，创立了解析几何。

你能体会其中的重大的转折意义吗？

意义：创建坐标法、实现用代数方法研究几何问题（数形结合）、体现变量的观点、为研究一类问题提供通法。

笛卡尔就这样创建了解析几何，你认为什么是解析几何？

解析几何：又叫坐标几何，指借助坐标系用代数的方法研究几何问题的性质的一门科。

反思：解析几何有什么特点？

教师：解析几何的特点：几何问题代数化或代数

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现，总结。

教师启发诱导学生认识坐标法解题的步骤，并带领学生进行简单的推广。

问题几何化或代数化与几何化统一，基本方法是坐标法，核心思想方法是数形结合，基本的原理是化归。

问题解析：将平行四边形ABCD转化为矩形（特殊法，

，

为x,y轴建立平面直角坐标答案唯一），以

系，易得

A(0，0) B（6，0）C（6，4）D（0，4）M(6,3) N(4,4)

=（6,3） =（2，-1），轻松计算出答案9. 可得

刚才就是解析几何中解决问题的一般方法，你能总结出来吗？

（1）观察几何直观图形；

（2）建立适当的坐标系；

（3）列出代数式；

（4）用代数的式子解释几何性质；几何性质应证代数式子；

课堂小结：节课你学到了什么？

教师：（1）了解笛卡尔的生平简介；

（2）笛卡尔坐标系的建立过程和原因；

（3）解析几何的基本思想（数形结合）、特点（用代数解释几何问题）和学习方法（观察、建系、列式子、用代数解释几何性质）

（4）了解析几何的笛卡尔坐标系建立的意义和影响；

恩格斯指出:“数学中的转折点是笛卡尔的坐标法。有了坐标法，运动进入了数学；有了坐标法，辩证法进入了数学；有了坐标法，微分和积分也就立刻成为必要的了。

【活动四】为什么恩格斯对解析几何有如此高的评

学生独立思考后小组交流展示。

本步骤和方法。

高考题的设计目的在于让学生在脑海里建构解析教师几何的知识网快速画出络，体会解析几其他值的何的基本方法，图形并简知道如何更好的单分析

归纳总结解析几何，得出解析几何的基本思想。

老师引导学生发现规律，总结特点。

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去学习解析几何。

培养学生的反思总结能力；价？（开放性问题，学生回答，言之有理即可）

教师:主要的几个方面

1.坐标法的使用，为数学中平面到空间、一维到多维提供了一般的研究方法。

2.解析几何的建立使得数学从常量研究进入了变量数学。

3.解析几何的建立为后面的微积分产生奠定了基础。

4. 解析几何的建立为数学问题机械化解决提供了先决条件，最突出的是我国数学家吴文俊的的机器证明。

笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，为人类争取并保证理性权利的第一人。

对整节课系统完整的了解，吸取笛卡尔的优秀品质。

理解体会恩格斯对解析几何学生高度评价的意独立思义；让学生去了考，交流解解析几何的后讨论，展续发展，拓宽学

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示结果，生的知识面和思分享方法

维空间。

学生总结

学生倾听、观察、思考，老师引导发现

学生思考，交流，展示

学生反思总结，老师补充完善

教师ppt展示并讲解， 学生倾听领悟

课堂练习

1、下面哪些是笛卡尔的著作：（

）

学生目的在于

独立思1.反馈教学考，展示目标达成情况；

纠正，教师补充

2.使学生会简单的迁移应用，体会基本方法坐标法。

3.培养学生利用不同渠道去了解和学习数学知识，拓作A《指导哲理之原则》、B《论世界》、

C《方法论》、D《形而上学的沉思》、

E《哲学原理》F《论音乐》、

G《论巴尔扎克的书简》。

2、解析几何诞生的时间和代表著作是(

) A、1637年，《几何学》

B、1660年，《论世界》

C、1701年，《规则》

D、1644年，《哲学原理》

学生展学生的知识思考，老面，丰富学生的师课后督精神世界。

作3、（备用）用解析法证明：若一个四边形的两条促指导。

作对角线的平方和等于四边的平方和，则这个四边形是

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业平行四边形。

布置

外延为不同小组加上不同的分数。结果统计：第二、四小

课后练习

1、请同学们用几何坐标法解决相应的向量问题。

组加上15

分，其他2、阅读《笛卡尔的错误》、《笛卡尔之梦》等著四个小组各加十分。课代表统计并整理后续测评使用。

伸作了解解析几何的后续发展，写出关于解析几何的相阅

关论文。

3、至少访问一个笛卡尔与坐标系的相关网站

4、有兴趣的同学可以继续查阅相关网站和书。

§笛卡尔与解析几何

板书设计

一、笛卡尔生平介绍——优秀品质；

二、解析几何创建过程；

例题讲解区：

三、一道经典高考题；

四、解析几何的特点；

五、如何学习解析几何；

六、总结反思；

本堂课特点如下：

一、本节课的编排从笛卡尔生平介绍，及解析几何创建的原因、过程和意义出发，并重点剖析解析几何产生的过程，符合数学阅读材料的教学过程。

二、本节课作为阅读材料课，把情感的体验放在第一位，并在课堂中充分渗透了数学文化，让学生深刻感受到了数学的魅力，受到了意志、创新等品质的感染。课

三、设计中用向量的高考题的特殊法和坐标法突出了解析几何的基本思想和基本法方法，让学生深刻的认识到坐标法的优越，数形结合的重要，转化思想的不可少。后

四、以问题作引导，让学生小组合作，探究，思考，在小组合作交流讨论中，实现学生在“做中学，思中学”，而且整个课堂气氛非常活跃，不仅培养了自主学习，反

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合作交流的意识，还强化了学生的主体地位，充分体现了“以人为本”的课改理念。

思本节课也有一定的不足，对笛卡尔和解析几何问题的深度和广度还不够，在以后的教学过程中，我会多学习，学会用更加娴熟的智慧来处理这个问题。

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