复习参考题教案教学设计

第二章

章末复习课

学习目标

1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．

知识回顾：

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

3．平行的判定与性质

(1)直线与平面平行的判定与性质

判定

定义

定理

性质

图形

条件

结论

a∩α＝∅

a∥α

a⊂α，b⊄α，a∥b

b∥α

a∥α

a∩α＝∅

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

a∥b

(2)面面平行的判定与性质

判定

定义

定理

性质

图形

条件

结论

α∩β＝∅

α∥β

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

a∥b

α∥β，a⊂β

a∥α

(3)空间中的平行关系的内在联系

4．垂直的判定与性质

(1)直线与平面垂直

图形

条件

a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)

判定

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

a∥b，a⊥α

a⊥α，b⊂α

性质

a⊥α，b⊥α

(2)平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言

如果一个平面经过另一判定定理

个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言

a∥b

a⊥b

a⊥α

结论

a⊥α

b⊥α

l⊂β⇒α⊥β

l⊥α

如果两个平面互相垂直，性质定理

那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

(3)空间中的垂直关系的内在联系．

α⊥β，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a

⇒l⊥α

5．空间角

(1)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°. (2)直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．

②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

类型一

几何中共点、共线、共面问题

例1

如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：(1)E、F、G、H四点共面；

(2)GE与HF的交点在直线AC上．

证明

(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，

∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，

∴E、F、G、H四点共面．

(2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.

又EF∥GH，∴EG与FH不平行，

则必相交，设交点为M.

EG⊂面ABC⇒M∈面ABC且M∈面ACD

HF⊂面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上，

又面ABC∩面ACD＝AC⇒M∈AC. ∴GE与HF的交点在直线AC上．

反思与感悟

1.证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

2．证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

3．证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

跟踪训练1

如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线．

证明

∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，

∴O∈平面ACC1A1. ∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，

∴M∈平面ACC1A1. 又已知A1∈平面ACC1A1，

即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，

所以O、M、A1三点共线．

类型二

空间中的平行关系

例2

如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

求证：(1)GE∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

证明

(1)如图，取B1D1中点O，

连接GO，OB，

1易证OG綊B1C1，

21BE綊B1C1，

2∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．

∴OB∥GE. ∵OB⊂平面BDD1B1，

GE⊄平面BDD1B1，

∴GE∥平面BDD1B1. (2)由正方体性质得B1D1∥BD，

∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF. 连接HB，D1F，

易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF. ∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H. 类型三

空间中的垂直关系

例3

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE. 证明

(1)在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，

CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，

可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE. 类型四

空间角问题

例4

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(2)证明：AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A—PD—C的正弦值．

(1)解

在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明

在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. (3)解

过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．

由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得

PA＝a，AD＝232123a，PD＝3a，AE＝2a. 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，

∴AM·PD＝PA·AD，

a·23则AM＝PA·AD3a27PD＝21＝a. 3a7在Rt△AEM中，sin∠AME＝AE14AM＝4. 所以二面角A—PD—C的正弦值为144.