2.3 抛物线（通用）第一课时导学案

椭圆期末复习

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(

) 1A.

2

B.2

2C.2

D.3

22．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(

) x2y2A.＋＝1

8172x2y2C.＋＝1

8145

x2y2B.＋＝1 819x2y2D.＋＝1 8136x2y23．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直ab→→线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是(

) A.3

2B.2

21C.

3

1D.

23，且G上24．(2011·四川绵阳诊断)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．

5．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．

x2y26．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则54△OAB的面积为________．

y→→0，，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为7．平面上有三点A(－2，y)，B2________________________．

8．已知两点F1(－2,0)、F2(2,0)，曲线C上的动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|，求曲线C的方程________________________，离心率________________________。

9．已知点P是圆x2＋y2＝4上一个动点，定点Q的坐标为(4,0)，求线段PQ的中点的轨迹方程_______________________。

x2y2510. (1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

945(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求椭圆的方程．

1

双曲线期末复习

x2y241．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(

) ab35A.

3

B.21

325C.

4

D.7

2y22．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，

24则△PF1F2的面积等于(

) A．42

B．83

C．24

D．48 x2y23．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心ab率等于5，则该双曲线的方程为(

) 42x2y2y2x25A．5x－y＝1

B.－＝1

C.－＝1

D．5x2－y2＝1 55454424．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(

) A．2

B．4

C．6

D．8 x2y25．过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有(

) 169A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

x2y2x2y26．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双ab259曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

x2y27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲412线的右焦点的距离为________．

8．求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)双曲线经过点(3,92)，离心率e＝10. 39(2)焦点在y轴上，且过点(3，－42)、4，5.

2

抛物线期末复习

1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(

) A．1

B．2

C．4

D．8 2．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a＝(

) A．1

B．4

C．8

D．16 3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，则∠A1FB1等于(

)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(

)

A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝2

D．x＝－2 5．如图所示，过抛物线线l交抛物于点y2＝2px(p>0)的焦点CF的直

A、B，交其准线于点若|BC|＝2|BF|，

|AF|＝3，则此抛物线的方程为(

)

3A．y2＝x

B．y2＝9x

29C．y2＝x

2

D．y2＝3x

6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 7．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．

8．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________. 9．已知焦点在x轴上的抛物线，其通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)的长为8，求此抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．

3

直线与圆锥曲线位置关系

330，，动圆P经过点F且和直线y＝－相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W. 1．设点F22(1)求曲线W的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线W于A、B和C、D.求四边形ACBD面积的最小值．

2．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为(2,0)，右准线方程为x＝3. (1)求椭圆C的方程；(2)过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，

4→→若OA·OB>－，求k的取值范围．

3

x2y2233．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到ab3直线l的距离是3→→.(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM·ON2＝－23，求直线m的方程．

4

答案

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

(

) 1A.

2

B.2

2C.2

D.3

22. 2解析：由题意得2a＝22b⇒a＝2b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝2c⇒e＝答案：B 2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是

(

) x2y2A.＋＝1

8172x2y2C.＋＝1

8145

x2y2B.＋＝1 819x2y2D.＋＝1 81361解析：依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，

3x2y2∴b＝a－c＝81－9＝72，∴椭圆方程为：＋＝1. 8172222答案：A x2y23．(2011·云南昆明质检)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，ab→→且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是

(

) A.3

2B.2

21C.

3

1D.

21→→解析：∵AP＝2PB，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝. 2答案：D 6．(2011·四川绵阳诊断)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上2一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．

x2y2解析：依题意设椭圆G的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，

∴2a＝12⇒a＝6，

a2－b233∵椭圆的离心率为，∴＝，

2a2

5

36－b23x2y22∴＝，解得b＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1. 62369x2y2答案：＋＝1 3697．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．

xy解析：解法一：直接法．设A(x，y)，y≠0，则D2，2，∴|CD|＝

x－52＋y＝3，

242化简得：(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0. x2y28．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则54△OAB的面积为________．

解析：易知直线AB方程为y＝2(x－1)，

54与椭圆方程联立解得A(0，－2)，B3，3，

1145故S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×2＋×1×＝. 22335答案：

3y→→0，，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为8．平面上有三点A(－2，y)，B2________________________．

→2，－y→x，y→→解析：AB＝，BC＝.∵AB⊥BC，

22yy→→∴AB·BC＝0，得2·x－·＝0，得y2＝8x. 22答案：y2＝8x

12．(2011·湖北襄樊调研)已知两点F1(－2,0)、F2(2,0)，曲线C上的动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P. (1)求曲线C的方程及其离心率；

x2y2510．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

945(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求椭圆的方程．

解：(1)∵c＝9－4＝5. ∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．

x2y2设所求椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)．

abc5∵e＝＝，c＝5，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20. a5

6

x2y2∴所求椭圆的方程为＋＝1. 2520(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为

x2y2＋＝1(a>b>0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，

a2b2x2y2∴b＝a－c＝20.∴椭圆的方程为＋＝1. 3620222当椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为

y2x2＋＝1(a>b>0)．

a2b2∵2c＝8，∴c＝4，又b＝6，∴a2＝b2＋c2＝52. y2x2∴椭圆的方程为＋＝1. 5236x2y2y2x2综上，椭圆的方程为：＋＝1或＋＝1. 3620523611．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为(2,0)，

右准线方程为x＝3. (1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，

4→→若OA·OB>－，求k的取值范围．

3a2解：(1)由已知，c＝2，＝3，则a2＝6，b2＝a2－c2＝2，

cx2y2故椭圆C的方程为＋＝1. 62(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)，

xy6＋2＝1，由消去y，

y＝kx－2，得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，

12k2－612k2则x1＋x2＝，xx＝，

1＋3k2121＋3k2y1y2＝k(x1－2)·k(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] 12k－612k2k＝k. 2－2×2＋4＝－1＋3k1＋3k21＋3k222222

12k2－62k2→→由OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－

1＋3k21＋3k210k2－6421＝2>－，解得k>. 331＋3k

7

所以k的取值范围是－∞，－33∪，＋∞

33330，，动圆P经过点F且和直线y＝－相切．

11．设点F22记动圆的圆心P的轨迹为曲线W. (1)求曲线W的方程；

(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线W于A、B和C、D.求四边形ACBD面积的最小值．

3解：(1)过点P作PN垂直直线y＝－于点N. 2依题意得|PF|＝|PN|，

330，为焦点，直线y＝－为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2∴动点P的轨迹是以F22＝6y. (2)依题意，直线l1、l2的斜率存在且不为0，

3设直线l1的方程为y＝kx＋，

213由l1⊥l2得l2的方程为y＝－kx＋. 23将y＝kx＋代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0. 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，

∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝6(k2＋1)，

1同理可得|CD|＝6k2＋1. 112＋1＝18k2＋12＋2≥72，

∴四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝18(k2＋1)·k2k1当且仅当k2＝2，即k＝±1时，Smin＝72. k12．已知点P是圆x2＋y2＝4上一个动点，定点Q的坐标为(4,0)．

(1)求线段PQ的中点的轨迹方程；

解：(1)设线段PQ的中点坐标为M(x，y)，由Q(4,0)可得点P(2x－4,2y)，代入圆的方程x2＋y2＝4可得(2x－4)2＋(2y)2＝4，整理可得所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.

x2y241．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为

ab3(

)

8

5A.

3

B.21

35C.

4

D.7

2bb4解析：由条件中双曲线的标准方程，可得其渐近线方程为：y＝±x，故可得＝，

aa3b5同时借助双曲线中基本量之间的关系得＝e2－1，所以可求得e＝. a3答案：A y22．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，

242则△PF1F2的面积等于

(

) A．42

B．83

C．24

D．48 |PF1|－|PF2|＝2，|PF1|＝8，解析：由可解得

3|PF|＝4|PF|，|PF|＝6.122

又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，

1则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24. 2答案：C x2y23．(2011·湖北宜昌调研)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重ab合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为

(

) 4A．5x－y2＝1

52

x2y2B.－＝1 545D．5x2－y2＝1 4y2x2C.－＝1

54

c1解析：据题意知双曲线的焦点为(1,0)，即c＝1，又离心率e＝＝＝5，

aa故a＝545，b2＝c2－a2＝，从而双曲线方程为5x2－y2＝1. 554答案：D 4．(2010·全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝

(

)

9

A．2

C．6

B．4 D．8 解析：在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，将|F1F2|＝22，(|PF1|－|PF2|)2＝4代入可得|PF1|·|PF2|＝4，故选B. 答案：B x2y21．过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有

169(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

解析：由图象可知有两条切线和两条与渐近线平行的直线，共4条．

答案：D x2y2x2y26．(2010·北京卷)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点ab259相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

x2y2解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0)，

259∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，

c∴c＝4.又∵＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，

ax2y2∴双曲线方程：－＝1，

412b∴渐近线方程为y＝±x＝±3x，即3x±y＝0. a答案：(±4,0)

3x±y＝0 x2y27．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则412点M到此双曲线的右焦点的距离为________．

x2y2解析：x＝3代入－＝1，y＝±15，不妨设M(3，15)，右焦点F(4,0)，∴|MF|＝1＋15412＝4. 答案：4 10．求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)双曲线经过点(3,92)，离心率e＝10. 39(2)焦点在y轴上，且过点(3，－42)、4，5. 10c210解：(1)由e＝，得2＝. 9a92

10

设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k. x2y2设双曲线方程为－k＝1，

9ky2x2或－k＝1，

9k

①

②

把(3,92)代入①得k＝－161与k>0矛盾，无解；

把(3,92)代入②得k＝9. y2x2故所求双曲线方程为－＝1. 8199y2x2(2)设所求双曲线方程为2－2＝1，则因为点(3，－42)，4，5在双曲线上，

ab所以点的坐标满足方程，由此得2581a－16b＝1.22329－＝1，a2b2

32m－9n＝1，11令m＝2，n＝2，则方程组化为81ab25m－n＝1.16

解方程组得1n＝9.221m＝，16

y2x2∴a＝16，b＝9.所求双曲线方程为－＝1. 169x2y22311．(2010·西安模拟)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，ab3－b)两点，原点O到直线l的距离是(1)求双曲线的方程；

→→(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM·ON＝－23，求直线m的方程．

x22解：(1)－y＝1. 3(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，

y＝kx－12则点M、N坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组x的解，

2－y＝13消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①

依题意，1－3k2≠0，由根与系数关系，

3. 2

11

6k6知x1＋x2＝2，x1x2＝2

3k－13k－1→→OM·ON＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2

＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1) 61＋k26k2(1＋k)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝2－＋1 3k－13k2－12＝∴6→→＋1.又∵OM·ON＝－23，

3k－1261＋1＝－23，k＝±，

23k－121当k＝±时，方程①有两个不相等的实数根，

211∴方程为y＝x－1或y＝－x－1. 222．(2011·湖北黄冈调研)过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，则∠A1FB1等于

(

)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：如图所示，由定义知AA1＝AF，BB1＝BF，

∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1，

又∵∠AA1F＝∠A1FO，∠BB1F＝∠B1FO，

∴∠AFA1＝∠A1FO，∠BFB1＝∠B1FO，

∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°. 此题可用特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)．

答案：D 3．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a＝

(

) A．1

B．4

C．8

D．16 a0，，双曲线的上焦点为(0,2)，

解析：据抛物线方程可得其焦点坐标为4a据题意则有＝2，解得a＝8. 4答案：C

12

4．(2010·山东卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

(

) A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝2

D．x＝－2 py＝x－2p解析：据题意AB所在直线方程为y＝x－，联立直线与抛物线方程得2y2＝2px

，消去x，整理可得y2－2px－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，据韦达定理可得y1＋y2＝2p，由AB中y1＋y2点的纵坐标为2，可得＝p＝2，故抛物线方程为

y2＝4x，

2即其准线方程为x＝－1. 答案：B 6．(2010·重庆卷)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 7．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．

解析：由题意可知点A到其准线的距离为3，此时抛物线的准线与直线AB的延长线交于点C，过点A作准线的垂线，交准线于点D，则△ACD为直角三角形，因为直线的AB的倾斜角为60°，则AC＝6，又∵AF＝3，则FC＝3，

3∴F为AC的中点，则得焦点F到准线的距离为，

23即p＝，所以所求抛物线的方程为y2＝3x. 2答案：y2＝3x

8．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________. 解析：据题意可得yA＋yB＝2yP＝2，因此|AF|＋|BF|＝yA＋yB＋p＝2＋6＝8. 答案：8

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10．(2011·四川成都诊断)已知焦点在x轴上的抛物线，其通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)的长为8，求此抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．

p解：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则它的焦点为F2，0，由通径长为8，

pp，4在抛物线上，∴42＝2p×，∴p＝4，y2＝8x；

知点22同理可得y2＝－8x也符合题意，故所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x，它们的焦点和准线分别为(2,0)，x＝－2以及(－2,0)，x＝2.

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