小结精品学案

导数问题之构造函数

东至县大渡口中学 鲍丹

学习目标：

内容：导数与函数单调性、函数的极值、最值的关系；

能力：掌握应用导数求解函数的单调区间、极值与最值，并讨论函数的单调性；

情感、态度、价值观：提高学生应用数形结合思想与分类讨论思想的能力与意识。会利用导数解决某些实际问题。

学习重点：构造新的函数解决导数问题。利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。

学习难点：怎样构造函数解决导数问题。

教学过程

一、直接做差构造函数

例1、已知函数f(x)lnx,g(x)(a0),若x0,e,都有3f(x)g(x),求实数a的取值范围。

23a3F(x)f(x)g(x)lnx，只要 F(x)在 (0,e]上的最小值解：记 2x2ax大于等于0即可。

1axaF'(x)2，则 x(0,a)F'(x)0；x

(a,)F'(x)0又 xx2xF(x)在 (a,)上单调递增。

(0,a)上单调递减，在 即 ae时，F (x)在 (0,e)上单调递减，则 F(e)为最小值，

所以当 ae。

F(e)10,得 a,所以 所以 ae32e2(a,e)上单调递增，

F(x)在 ae时，函数 (0,a上单调递减，在)当 a3a2e,a综上，

的取值范围为 . F(x)minF(a)lna0,得

ae,eae.所以 

二、分离函数构造函数

当要证明的不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或商的形式时，我们需要把这两种形式的函数分离之后再来研究，这样在解决具体问题时会变得简单。

2ex1,求证：f(x)1.

例2、设f(x)elnxxx证明：设g(x)xlnx,则g'(x)0,g'(x)1lnx,当x(0,)时

，g'(x)0;当1e111x(,)时，g'(x)0,故g(x)在(0,)单调递减，在(,)单调递增，

eee从而x(0,)时，g(x)ming()。 1e1e2，则h'(x)ex(1x)，当x(0,1)时，h'(x)0；当x(1,)e1时，h'(x)0.x(0,),h(x)maxh(1).

e设h(x)xex因此g(x)与h(x)极值点不同，且g(x)的图像恒在h(x)图像的上方。

综上，当x(0,)时，g(x)h(x),即f(x)1.

注：常见的超越函数和有理函数之间的叠加主要有以下几种： (1)yxex, (2)yxlnx,

exlnx,

(3)y, (4)yxx三、从导函数特征入手构造原函数

对于条件中出现的xf'(x)f(x),

很明显能得到它是xf(x)的导数，于是通过构造函数F(x)xf(x)，对其求导即可解题。

当然不局限于这个，还有一些其他形式的导函数也可以做一些这样的转化，总结如下：

（一）

关系式为“加”型（注意对x的符号进行讨论。）

(1)f'(x)f(x)0,构造[exf(x)]'ex(f'(x)f(x));

(2)xf'(x)f(x)0,构造[xf(x)]'xf'(x)f(x);

(3)xf'(x)nf(x)0,构造[xnf(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)].

（二）关系式为“减”型（注意对x的符号进行讨论。）

f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x);

(1)f'(x)f(x)0,构造[x]'e(ex)2ex(2)xf'(x)f(x)0,构造[f(x)xf'(x)f(x)]';

xx2f(x)xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x).

(3)xf'(x)nf(x)0,构造[n]'x(xn)2xn1例3、若函数f(x)在R上可导且满足不等式xf'(x)f(x)0恒成立，且常数a,b满足ab,求证：af(a)bf(b).

证明：xf'(x)f(x)0,

所以构造F(x)xf(x),

则F'(x)xf'(x)f(x)0,

F(x)为R上增函数。

ab,F(a)F(b),

即af(a)bf(b).

四、换元法构造函数

例4、设函数f(x)lnx2分析：x1mnmn.若m,nR*,mn,求证：.

x1lnmlnn2mnmnx1.

考虑到f(x)lnxa式子左边形式的分子和右边的lnmlnn2x1mm11nn分子可以通过相除得到我们题干中构造的形式，因此我们只需证即可。

m2lnnmm11mnmnnn.只需证证明：要证成立即可，

mlnmlnn22lnn

mm1)2(1)mm即证lnn.即证lnn0.

mmnn11nn2(mx1x,即有f(x)lnx2，nx11(x1)(x1)(x1)24xx22x1(x1)2f'(x)20,(x0)恒成2222x(x1)x(x1)x(x1)x(x1)令立。所以f（x）在0,上是增函数。

m1)mmm*m,nR,mn,1,f()f(1)0.所以lnn0，即mnnn1nmnmn.

lnmlnn22(

课后作业：

1、已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，导函数为f'(x)，当x0时，2f(x)xf'(x),且f(1)1,若xR*,使f(x)x2，求x的值。

2、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)121n113都成立。

2nn3、已知函数f(x)lnx,求证：在(1,)上，函数f(x)的图像在g(x)23x的图像的下方。

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