2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案

第二章

点、直线、平面之间的位置关系(必修2)

一、知识结构

1．

平面（公理1、2、3、4）

空间直线、平面的位置关系

平面与平面的直线与直线的直线与平面的

位置关系

位置关系

位置关系

2．空间中平行、垂直间的转化关系

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

二、学习目标

1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

等角定理

。。。。

2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。

判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。

3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三、课时安排

全章约需10+2课时

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

------------------- 3课时

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

--------------------3+1课时

1 1

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

--------------------3+1课时

小结

----------------------------------1课时

四、教学建议

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）

第一课时

平面

教学内容

平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。

学习目标

1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。

2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。

3．了解作为以后推理依据的三个公理。

教学重点

文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。

要点分析

1．三种语言间的联系

图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。

文字语言——对图像的描述、解释与讨论。

符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。

在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。

课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。

注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。

2．两个重要模型

四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。

建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。

3．平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。

公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面的依据。

课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该2 2

点的公共直线。

作用：判定两个平面相交的依据，为画图提供理论——两个平面相交有一条交线；可用于判定点在直线上。

建议：适当进行不同角度的两个相交平面直观图画法的练习，提高学习兴趣，提高空间想象能力，为在空间图形中进行命题论证奠定基础——过画图关。

第二课时

空间中直线与直线之间的位置关系

教学内容

空间两条直线之间的位置关系，等角定理。

学习目标

了解空间中直线与直线的三种位置关系；理解异面直线的定义；了解公理4和等角定理；理解异面直线所成角及空间两条直线互相垂直的定义。

教学重点

异面直线的有关概念，等角定理。

要点分析

1．空间两条直线的位置关系

观察模型，抽象概括出异面直线的概念：不同在任何一个平面内。

空间两条直线的位置关系：

相交直线：在同一平面内——有且只有一个公共点

共面直线

平行直线：在同一平面内

没有公共点

异面直线——不同在任何一个平面内

建议：在具体模型中巩固异面直线的定义，如上图，三棱锥的棱所在直线中，异面直线有多少对？。。。。。。

2．平行线的传递性

课本P45例2：

证明以空间四边形各边中点为顶点的四边形是平行四边形。

例2的训练价值：

（1）旋转化平面的方法：空间四边形转化为平面四边形；平面四边形绕对角线BD旋转得到空间四边形。

3 3

（2）增加什么条件，四边形EFGH成为菱形、矩形、正方形？

3．等角定理

通过对长方体模型的观察得到等角定理，鉴于长方体角度的特殊性，建议增加一点观察的难度，如下图2 。

等角定理并不要求证明，只需观察确认，目的是为定义异面直线所成角提供理论支持。

4．异面直线所成的角

利用平行投影感知异面直线所成的角：

建议：P45探究作业难度较大，课上不作处理。

第三课时

直线与平面、平面与平面之间的位置关系

教学内容

直线与平面的位置关系；平面与平面的位置关系。

学习目标

1．了解直线与平面的位置关系，理解直线在平面外的概念；了解空间两个平面的位置关系。

2．通过对实物或模型的观察，直线、平面间位置关系的确认，再到熟知的长方体模型中位置关系的识别，使学生明确各种位置关系的本质特征，树立空间观念，提高画图和识图能力。

教学重点

直线、平面间位置关系的确认。

4 4

要点分析

1．直线与平面的位置关系

直线在平面内——

——

——

——

—有无数个公共点

有公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线在平面外

直线与平面平行——

——

——

——

——

无公共点

建议：三种位置关系的图形表示，要求学生课上练习画法，并用符号语言表示，帮助学生纠正易犯的错误，如下图。

2．两个平面的位置关系

两个平面平行——没有公共点。

两个平面相交——有一条公共直线。

建议：利用长方体模型，识别直线、平面间的各种位置关系。

3．问题探究

（1）已知平面,，直线a,b且//，a,b，则直线a与b具有怎样的位置关系？画出图形表示你的结论。

（2）已知平面,，直线a,b且l，a,b，则直线a与b具有怎样的位置关系？画出图形表示你的结论。

（3）P50 练习：如果三个平面两两相交，那么它们有多少条交线？画出图形表示你的结论。

5 5

2.2 直线、平面平行的判定及其性质（3+1课时）

第四课时

直线与平面平行的判定

教学内容

直线与平面平行的判定定理。

学习目标

1．理解直线与平面平行的判定定理，会利用定理在简单几何体中判定直线与平面是否平行。

2．通过定理的应用，培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

操作确认直线与平面平行的判定方法，也是教学的难点。

要点分析

1．直线与平面平行的判定

a定理：

ba//。

a//b利用直线与直线的平行判断直线与平面的平行，即将线面平行问题转化为线线平行问题——转化思想方法的应用。

直线与直线平行

直线与平面平行

2．判定定理的应用

（1）借助于长方体模型，熟悉巩固定理的条件，严格要求论证的叙述：三个条件缺一不可。

（2）在（1）的基础上练习书面表述定理的应用。参看课本P55 例1。

第五课时

平面与平面平行的判定

教学内容

平面与平面平行的判定定理。

学习目标

1．理解平面与平面平行的判定定理，会利用定理在简单几何体中判定平面与平面是否平行。

2．通过定理的应用，培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

平面与平面平行判定方法的确认，也是教学的难点。

要点分析

1．平面与平面平行的判定定理

注意让学生体验转化思想的应用，转化关系为：

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与直线平行

2．定理的应用

建议：增加综合练习，提升学生的数学能力。

例1

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别A1B1、A1D1、A1A的中点，求证：平面EFG//平面BC1D。

6 6

例2 已知三棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是边AB、PC、PB的中点，

求证：平面PAD// 平面EFG。

3．类比思维训练

类比平面几何的一些结论，可以得到空间图形的一些重要性质，从素质教育的角度出发，建议进行必要的类比思维训练。

例

平面几何中有如下结论：如图，线段AB、CD相交于点O且互相平分，则直线

AC// BD。

类比上述结论，在空间，你能得到什么结论？

第六课时

直线与平面平行的性质

教学内容

直线与平面平行的性质定理。

学习目标

1．掌握直线与平面平行的性质定理，较为灵活的运用所学定理在几何体中证明简单的命题。

2．培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

操作确认——逻辑证明。

要点分析

1．直线与平面平行的性质定理

注意空间中平行关系的转化：

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

2．定理的应用

例1

如图，已知平面a，直线b//,b//，求证：a//b。

7 7

3．类比思维训练

例2 平面几何中有如下结论：平行线间的平行线段相等。

类比上述结论，由直线a

//平面，你能得到什么结论？能把你的结论再推广吗？

第七课时

平面与平面平行的性质

教学内容

平面与平面平行的性质定理。

学习目标

1．掌握平面与平面平行的性质定理，能较为灵活的运用所学定理在几何体中证明简单的命题。

2．培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

性质定理的证明及其应用

要点分析

1．平面与平面平行的性质定理

空间中平行关系的转化——知识结构：

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

2．类比思维训练

例

平面几何中有如下结论：如图，平行线截直线所得线段成比例。

类比上述结论，在空间，你能得到什么结论？试给出证明。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（3+1课时）

8 8

第八课时

直线与平面垂直的判定

教学内容

直线与平面垂直的定义、判定；直线和平面所成的角。

学习目标

1．理解直线与平面垂直的定义；掌握直线与平面垂直的判定定理，会用定义和定理判定几何图形中直线与平面的垂直关系；理解直线与平面所成角的定义，会在简单空间图形中求直线和平面所成的角。

2．通过直观感知、操作确认、定理应用等教学活动，培养学生空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

直线与平面垂直的判定定理及其应用。

要点分析

1．直线与平面垂直的判定

通过直观感知、操作确认，得到直线与平面垂直的判定方法。

将三角形纸片沿AD折起，折线BD、CD确定一个平面，折痕AD与平面BCD垂直吗？

如何翻折才能使AD垂直平面BCD垂直？

直线与平面垂直的判定定理：

lalbl。定理中三个条件缺一不可。

abP建议：（1）通过反例引起学生对条件

abP

的必要性认识。

（2）利用长方体图形对定理进行巩固练习，提高学生论证的严谨性。

2．在两个重要模型中强化判定定理

（1）正方体ABCD- A1B1C1D1中，对角线A1C垂直平面AB1D1和BC1D。

（2）正三棱锥P-ABC中，相对的棱互相垂直。

29 9

．知识结构

直线与直线平行

直线与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

3．直线与平面所成的角

建议：在两个重要模型中进行强化练习。

平面与平面平行

例

如图，三棱锥P-ABC中，PB平面ABC,ACBC,PBBCAC。求：

（1）PA，PB，PC与平面PBC所成的角；

（2）AC，AB，AP与平面PBC所成的角。

第九课时

平面与平面垂直的判定

教学内容

二面角；平面与平面垂直的定义、判定。

学习目标

1．理解二面角的有关概念；掌握平面与平面垂直的判定定理。

2．培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

平面与平面垂直的判定定理的确认。

要点分析

1．二面角

（1）二面角画法练习——不同方向的二面角的画法

（2）二面角求法练习

课本没有求二面角大小的题例，建议在具体简单图形中巩固有关概念。

10 10

2．知识结构

直线与直线平行

直线与直线垂直

3．问题探究

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与平面垂直

平面与平面垂直

（1）如图，三棱锥P-ABC中，PB平面ABC,ACBC，问：图中有几对面互相垂直？

并给出证明。

（2）如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,底面ABCD是矩形，问：图中有几对面互相垂直？

并给出证明。

第十课时

直线与平面垂直的性质

教学内容

直线与平面垂直的性质。

学习目标

1．掌握直线与平面垂直的性质定理。

2．培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

直线与平面垂直的性质定理的应用。难点是定理的证明。

要点分析

1．知识结构

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

2．性质定理的证明

定理的证明引用了反证法，这是教学的难点。

11 11

3．定理的应用

通过定理的应用，体验转化思想在几何中的具体运用，提高逻辑论证能力。

例

如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,底面ABCD是矩形，M是PC中点，证明平面BMD平面ABCD。

4．问题探究

下述两个位置关系之间能进行相互转化吗？

平面与平面平行

直线与平面垂直

第十一课时

平面与平面垂直的性质

教学内容

平面与平面垂直的性质。

学习目标

1．平面与平面垂直的性质定理。

2．培养空间想象能力和逻辑论证能力，体验转化思想在几何中的运用。

教学重点

平面与平面垂直的性质定理的应用。难点是定理的证明。

要点分析

1．知识结构

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与平面垂直

平面与平面垂直

直线与直线垂直

2．定理的证明

直观感知——提出猜想——逻辑证明。

定理的证明用到同一法，难度较大，是本节课的难点。

3．线面位置关系的判定练习

建议：增加一定量的选择题、判断题巩固所学定理。

例

（2007辽宁，理7题）若m，n是两条不同的直线，，，是三个不12 12

同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若m，，则m

B．若

mn，m∥n，则∥

C．若m，m∥，则

D．若，⊥，则

4．定理的应用

如图，三棱锥P-ABC中，PB平面ABC,ACBC,PBBCAC。求：

（1）PC与平面PAB所成的角；

（2）PB与平面PAC所成的角。

第十二课时

小结

13 13