1.2.1 充分条件与必要条件公开课教案

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

[知识能否忆起] 一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

二、四种命题及其关系

1．四种命题

命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

2．四种命题间的逆否关系

表述形式

若p，则q

若q，则p

若綈p，则綈q

若綈q，则綈p

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

三、充分条件与必要条件

1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

[小题能否全取] 1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(

) 11A．若＝，则x＝y

xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x

1 222C．若x＝y，则x＝y

11解析：选A 由＝得x＝y，A正确，易知B、C、D错误．

xyπ2．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4πA．若α≠，则tan α≠1 4πC．若tan α≠1，则α≠ 4

πB．若α＝，则tan α≠1

4πD．若tan α≠1，则α＝

4解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若ππα＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．

443．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的(

) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．

4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”

5．下列命题中所有真命题的序号是________．

①“a>b”是“a>b”的充分条件；

②“|a|>|b|”是“a>b”的必要条件；

③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．

解析：①由2>－3⇒/ 2>(－3)知，该命题为假；②由a>b⇒|a|>|b|⇒|a|>|b|知，2222222222该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．

答案：②③

1.充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．

2

注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．

2．从逆否命题，谈等价转换

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．

四种命题的关系及真假判断

典题导入

[例1] 下列命题中正确的是(

) ①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

1④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

2A．①②③④

C．②③④

B．①③④

D．①④

22222[自主解答] ①中否命题为“若x＋y＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．

[答案] B 由题悟法

在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．

以题试法

1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

3

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④

充分必要条件的判定

典题导入

[例2] (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x－2x<0”的(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

2

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

22[自主解答] (1)取x＝0，则x－2x＝0，故由x<2不能推出x－2x<0；由x－2x<0得0

(2)当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．

[答案] (1)B (2)B 由题悟法

充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．

以题试法

2．下列各题中，p是q的什么条件？

(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；

(2)p：|x|＝x，q：x＋x≥0.

解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q. 又若sin A＝sin B，则2Rsin A＝2Rsin B，即a＝b. 故A＝B，即q⇒p.

4 222

所以p是q的充要条件．

(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，

q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，

∵AB，

∴p是q的充分不必要条件．

充分必要条件的应用

典题导入

[例3] 已知p：－4

[自主解答] 设q，p表示的范围为集合A，B，

则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．

由于q是p的充分而不必要条件，则有AB，

即a－4≤2，a＋4>3

或a－4<2，a＋4≥3，

解得－1≤a≤6.

[答案] [－1,6] 由题悟法

利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：

(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/ p；

(2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/ q，且q⇒p；

(3)若p是q的充要条件，则p⇔q. 以题试法

3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是(

) A．(3，＋∞)

1C.－∞，－ 2

1B.－∞，－∪[3，＋∞)

221D.－∞，－∪(3，＋∞)

212解析：选D 由2x－5x－3≥0得x≤－或x≥3.

2∵x∈{3，a}是不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3，

2

5

1∴a≤－或a>3. 2

1．(2012·福建高考)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

B．x＝－1 2C．x＝5

D．x＝0 解析：选D a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0，得x＝0. 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：选B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．

3．(2013·武汉适应性训练)设a，b∈R，则“a>0，b>0”是“A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

a＋b2>ab”的(

) 解析：选D 由a>0，b>0不能得知a＋b2>ab，如取a＝b＝1时，a＋b2＝ab；由a＋b2>ab不能得知a>0，b>0，如取a＝4，b＝0时，满足是“a＋b2>ab，但b＝0.综上所述，“a>0，b>0”a＋b2>ab”的既不充分也不必要条件．

224．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切”，则p是q的(

) A．充分不必要条件 C．充要条件

2B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2解析：选A 由直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．

225．(2012·广州模拟)命题：“若x<1，则－1

) A．若x≥1，则x≥1或x≤－1

6 2

B．若－11或x<－1，则x>1 D．若x≥1或x≤－1，则x≥1

解析：选D x<1的否定为：x≥1；－1

6．(2011·天津高考)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

222222解析：选C A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，

∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．

7．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“x>1，则x>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x>0，则x>1”的逆否命题

解析：选A 对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x≤1，是假命题．如x＝－5，x＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x＋x－2≠0，由于x＝－2时，x＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．

8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

22222222解析：选B 若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x，而它不是奇函数．

9．命题“若x>0，则x>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)

解析：其否命题为“若x≤0，则x≤0”，它是假命题．

答案：假

10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x

解析：A＝{x|x<4}，由题意得AB结合数轴易得a>4.

7 222

答案：(4，＋∞)

11．(2013·绍兴模拟)“－3

x2a＋3＋y21－a＝1表示椭圆”的a＋3>0，解析：方程表示椭圆时，应有1－a>0，a＋3≠1－a解得－3

故“－3

答案：必要不充分

12．若“x>1”是“x

解析：由x>1，得x<－1或x>1，又“x>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1 13．下列命题：

①若ac>bc，则a>b；

②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

解析：对于①，ac>bc，c>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2⇒/ A2C1，所以③正确；④显然正确．

答案：①③④

1214．已知集合A＝xx－x－6<1，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若x∈A是x∈B的必要不2222222222充分条件，则实数a的取值范围是________．

122解析：由x－x－6<1，即x－x－6>0，解得x<－2或x>3，故A＝{x|x<－2，或x>3}；2由log4(x＋a)<1，即0

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“Acos 2B”A，

8

的(

) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C 由大边对大角可知，A

又sin A>0，sin B>0，所以sin Acos 2B. 所以acos 2B，即“Acos 2B”的充要条件．

2．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(

) A．x＋y＝2 C．x＋y>2 2222ab

B．x＋y>2 D．xy>1 解析：选B 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．

若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；

而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2. 对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1. 对于x＋y>2，当x<－1，y<－1时，满足x＋y>2，故不能推出x>1或y>1. 对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选B. 113．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是

3211解析：由题意知：“

3211所以x

是{x||x－m|<1}的真子集．

而{x||x－m|<1}＝{x|－1＋m

1－1＋m≤，3所以有11＋m≥，214解得－≤m≤. 23

14所以m的取值范围是－，. 2314答案：－，

23

9

4．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b≥0”，给出下列命题：

①若a－4b≥0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集；

②若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集；

③若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b<0；

④若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b<0；

⑤若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集；

⑥若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b≥0.

其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．

解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④. 答案：①③②④

5．设条件p：2x－3x＋1≤0，条件q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

1解：条件p为：≤x≤1，条件q为：a≤x≤a＋1. 21，綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1，或x

xx>1，或x<綈p对应的集合A＝22222222222222222∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴BA，∴a＋1>1且a≤或a＋1≥1且a<. 1212110，∴0≤a≤.故a的取值范围是. 226．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

解：(1)由M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

1．(2012·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)

10

中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝(

) A．1

B．2 D．4 C．3

解析：选B 若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2. ππ2．条件p：<α<，条件q：f(x)＝logtan αx在(0，＋∞)内是增函数，则p是q的(

) 42A．充要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 解析：选B ∵f(x)＝logtan αx在(0，＋∞)内是增函数，

ππππππ∴tan α>1，得α∈＋kπ，＋kπ，k∈Z，而，＋kπ，＋kπ(k224424∈Z)．

∴p是q的充分不必要条件．

3．判断命题“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

解：法一：写出逆否命题进行判断．

原命题：若a≥0，则x＋x－a＝0有实根．

逆否命题：若x＋x－a＝0无实根，则a<0. 判断如下：

∵x＋x－a＝0无实根，

1∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，

4∴“若x＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．

法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断．

∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，

∴方程x＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，

∴方程x＋x－a＝0有实根．

故原命题“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”为真．

又因原命题与其逆否命题等价，

所以“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．

法三：利用充要条件与集合关系判断．

11 222222222

令A＝{a∈R|a≥0}，

B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈Ra≥－，

则AB. ∴“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”为真，其逆否命题也为真．

214

12