3.1.1 变化率问题第二课时教学设计

3.1.1

数系的扩充和复数的概念

[学习目标]

1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的[来源学科网Z.X.X.K]充要条件.

知识点一

复数的引入

在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位. 思考

(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. (2)虚数单位i有哪些性质？

答案

(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5). 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋5)(x－5). 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋5)(x－5) ＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5). (2)虚数单位i有如下几个性质：

①i的平方等于－1，即i2＝－1；

②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；

③i的乘方：i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i(n∈N*). ＋＋＋知识点二

复数的概念、分类

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. (3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系

实数b＝0(1)复数(a＋bi，a，b∈R)纯虚数a＝0虚数b≠0非纯虚数a≠0(2)集合表示：

思考

(1)两个复数一定能比较大小吗？

(2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？

答案

(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b. 知识点三

复数相等

复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等. 思考

(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？

(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？

答案

(1)0；(2)4.

题型一

复数的概念

例1

写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. 1①2＋3i；②－3＋i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0. 21解

①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为2，虚部2为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 反思与感悟

复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1

下列命题中，正确命题的个数是(

) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A.0

B.1

C.2

D.3 答案

A 解析

①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A. 题型二

复数的分类

例2

设z＝log1(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R). 2(1)若z是虚数，求m的取值范围；

(2)若z是纯虚数，求m的值. 解

(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，

m－1＞0，m应满足的条件是5－m＞0，5－m≠1，

解得1＜m＜5，且m≠4. (2)因为z是纯虚数，故其实部log1(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，

2m－1＝1，m应满足的条件是5－m＞0，5－m≠1，

解得m＝2. 反思与感悟

将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.[来源学科网]

跟踪训练2

实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解

由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. 2k－3k－4＝0，(3)当2时，z是纯虚数，解得k＝4. k－5k－6≠02k－3k－4＝0，(4)当2时，z＝0，解得k＝－1. k－5k－6＝0

题型三

两个复数相等

例3

(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. a(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. 2

解

(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，

22x－y＝0，x＝1，x＝－1，∴解得或

2xy＝2，y＝－1.y＝1，

(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为

a3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

2a3m2－2m－1＝0，∴

10－m－2m2＝0，71解得a＝11或a＝－. 5反思与感悟

两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数. 跟踪训练3

已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值. 解

∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3. ∵z＞0，∴3x－1－x＞0，且x2－4x＋3＝0. 对于不等式3x－1－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.

1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(

) A.{－1}

B.{1}

C.{1，－1}

D.∅

答案

C[来源学科网ZXXK]

解析

因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}. 2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(

) A.2，1

C.±2，5

答案

C 2a＝2，解析

令得a＝±2，b＝5. －2＋b＝3，B.2，5 D.±2，1

3.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(

) A.±1

B.±i

C.±2i

D.±2i 答案

C 4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为________. 答案

1或2

解析

∵M∪N＝N，∴M⊆N，

∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件，得

22m－2m＝－1，m－2m＝0，2或2

m＋m－2＝0m＋m－2＝4，

解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2. 5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________. 答案

1 解析

关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0. 2n－2n＋1＝0，所以

m－n＝0.

所以m＝n＝1.

1.复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部. 2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.

一、选择题

1.设复数z满足iz＝1，其中A.－i

B.i

C.－1

D.1 答案

A 解析

∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i. 2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

B 解析

若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件. 3.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) A.－3

答案

A 解析

∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A. 4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2xy的值为(

) ＋i为虚数单位，则z等于(

) B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B.－2

C.2

D.3

1A.

B.2

C.0

D.1 2答案

D 解析

由复数相等的充要条件知，

x＋y＝0，x＝1，解得

x－1＝0，y＝－1，

∴x＋y＝0.∴2xy＝20＝1. ＋5.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(

) A.1

B.0

C.－1

D.－1或1 答案

B mm＋1＝0，解析

由题意知2∴m＝0. m－1≠0，

6.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(

)πA.2kπ－(k∈Z)

4πC.2kπ±(k∈Z)

4答案

B πB.2kπ＋(k∈Z) 4kπD.π＋(k∈Z)24[来源:Zxxk.Com][来源学科网]

sin 2θ－1＝0，解析

由题意，得解得3π2cos θ＋1≠0，θ≠2kπ±4

πθ＝kπ＋4

(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π，k∈Z. 4二、填空题

7.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________. 答案

1 x＋y＝2，解析

因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得所以x＝yx－y＝0，

＝1，所以xy＝1. 8.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________. 答案

3 m－3≥0，m≥3，解析

依题意知2解得

m－9＝0，m＝－3或3，

即m＝3. 9.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________. 答案

{0}

2a＋3a＝0，2解析

由z1＞z2，得a＋a＝0，－4a＋1＞2a，故a的取值集合为{0}. 10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________. 2

解得a＝0，

①若x是实数，则x可能不是复数；

②若z是虚数，则z不是实数；

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

④－1没有平方根. 答案

1 解析

因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错. 三、解答题

11.当实数m为何值时，复数m＋m－6＝0，2解

(1)由m－7m＋12≠0，m＋3≠0，∴当m2m2－7m＋12z＝(m＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

m＋32

得m＝2. ＝2时，z是实数. m2＋m－6≠0，m≠2且m≠－3，(2)由得即m≠2且m≠－3. m＋3≠0，m≠－3，

∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数. m＋m－6≠0，(3)由m＋3≠0，m2－7m＋12＝0，2

m≠2且m≠－3，得m≠－3，m＝3或m＝4，

即m＝3或m＝4. ∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数. 12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos 取值范围. m＝2cos θ，解

由z1＝z2，λ，m∈R，可得

24－m＝λ＋3sin θ.π0，，z1＝z2，求λ的θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈2

39sin θ－2－. 整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4816π90，，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－，1]. ∵θ∈216

113.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈2点(x，y)所形成的轨迹. 解

不妨设方程的实根为m，

1则m2＋m＋2mi＝xy－(x＋y)i. 21m2＋m＝2xy，

①∵x，y，m∈R，∴

2m＝－x＋y.

②x＋y由②，得m＝－. 2代入①，得x＋y2x＋y12－2＝2xy，

R).当方程有实根时，试确定

∴(x－1)2＋(y－1)2＝2，

∴点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.