3.1.3 导数的几何意义课堂实录

导数与函数的极值、最值（复习课）

一、教学目标：

1、知识与技能： 会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上连续函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。

2、过程与方法：

通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。

3、情感态度与价值观：

经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。

二、教学重点与难点

重点：会求闭区间上连续函数的最值．

难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法

三、教学方法：问题解决法、类比发现法、研究发现法

四、教学过程：

环节

复

习

引

入

教

学

过

程

认真读题找出题目考察的主要知识？

例1、a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0

根据前面的学习，设置三个问题：

1.极值和最值分别是什么？它们的区别是什么？

2.利用导数在解决函数的极值和最值的问题中主要解决哪些类型的题目？

3.解函数极值和最值的步骤？

通过对三个问题的解决引出例题。

设

计

说明

以找出例题要知识引入课题激发学生的兴趣。

通过复习极值、最值让学生深刻感受极值、最值的概念及求法；

引出利用导数求函数的极值、最值是本节课学习的内容。引入新课。

所考察的主

例1、a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0

f’(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).

1、若a ≤ 0 ，则f’(x) ≤ 0，函数f(x)单调递减，所以当x=0时，有最大值f(0)=0 . 2、若a > 0 ，则令f’(x)=0，解得x= ± .

a

通过问题的研究培养学生观察能力、独立思考能力及合作

例

题

讲

解

∵

x[0,1]，则只考虑x=

a

的情况

（1）

0<

a

<1

，即0

当x=

a

时，

f(x)有最大值为f()=2a

a.

（2）a

≥ 1 ，即a

≥ 1时，

f’(x) ≥ 0,函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x=1时，

f(x)有最大值f(1)= 3a-1. x

f(x) f(x) ’探究能力

规范解题过程体会利用导数求函数最值的步骤

通过课堂练习，深化对知识理解，完善(0,

a)+

a0

2aa

,1)(a-

认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．

综上：当a≤0，x=0时，f(x)有最大值0. 当0

a

时，f(x)有最大值

2

a

a

. 当a

≥

1，x=1时，f(x)有最大值3a-1. 例2、若f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，求a+b的值. 【错解】由x=1时，f(x)有极值10知，f(1)=10且f’(1)=0，∴1+a+b+a2=10,3+2a+b=0, 即

a=4,b=-11，或a=-3，b=3故a+b=-7或a+b=0 【探究】

当a=4,b=-11时，

f(x)=x3+4x2-11x+16，得f’(x)= 3x2+8x-11=(3x+11)(x-1). 当x∈(-11/3,1)时，

f’(x)<0.

当x∈(1,+∞)时，

f’(x)>0故当x=1时，f(x)为极小值.

当a=-3，b=3 时，

f’(x)= 3 (x-1)2 ≥0即x=1为非极值点∴

a=-3，b=3应舍去,故a+b=-7.

（教师引导学生讨论解答，并个别答疑、点拨，收集学生的解法，挑出若干答案在进行展示，并进行点评。）

教学方式：请学生板演

由错到对，体例3（08四川）已知x3是函数f(x)aln(1x)x10x的一会错误的原个极值点．

因，从而加深（Ⅰ）求a的值；

印象，达到巩（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

固加深的目（Ⅲ）当直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点，求b的取的。

值范围．

2（Ⅰ）f(x)aln(1x)x10x

af'(x)2x10

1x

x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点．

af'(3)40a16

4

2

例

题

讲

解

（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)16ln(1x)x210x，x(1,)．

162x28x62(x1)(x3)2x10

f'(x)

1xx1x1

令f'(x)0，得x1，x3．

f'(x)和f(x)随x的变化情况如下：

x

(1,1)

(1,3)

(3,)

3

1



f'(x)

0

0





极小f(x)

增

极大值

减

增

值

f(x)的增区间是(1,1)，(3,)；减区间是(1,3)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在(1,1)上单调递增，在(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减．

∴f(x)极大f(1)16ln29，f(x)极小f(3)32ln221．

感悟高考：将所学知识点应用于高考真题，让学生体验用所学知识解决高考题的具体方法，通过此2又f(16)=16-10×16>16ln2-9=f(1) .

题的解答，学-2

f(e-1)<-32+11=-21<32ln2-21= f(3) . 生对新知识可据此画出函数yf(x)的草图（图略），由图可知，

的理解更进当直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点时，b的取一步，应用更加熟练，也更值范围为(32ln221,16ln29)．

有自信心。

课

堂

小

结

课堂小结：让学生谈谈本节课自己的收获

1、概念

2、步骤（求解f’(x)=0 时注意讨论）

3、逆向题（验证）

4、综合题（小心陷阱）

通过小结培养学生归纳总结的能力以及语言表达能力

巩

固

提

作

业

设

置

板

书

设

计

高

一、

思考题

123fxxxbxc若函数

2

(1)

f



x



在R上是单调函数,求b范围. x



(2) f



x

在

x



1

处取得极值,且





1

,

2



时, 恒成立f



x





c

2,求实数c的范围。

通过熟悉题

让学生在快乐、轻松中获得知识、提升能力。

练习十

作业布置具有梯度性，让人人都有收获

导数与函数的最值

一、概念

二、题型：1、由函求值

2、由值求函

3、综合题

三、求最值的步骤：

1、求定义域 2、求f(x)

3、解f(x)=0

4、列表

5、求极值

6、与端点处的函数值比较大小

7、求最值

’’

清晰的呈现本节课的核心