3.1.3 导数的几何意义多媒体教案及点评

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导数的几何意义 ---------学习要点

1.

在图中，当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为。

2.函数y=f(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的，

即

kf(x0)limx0f(x0x)f(x0)，其切线方程为。

x3.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim率；

③利用点斜式求切线方程. 4.

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时，f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时, f(x0)是x的一个函数,我们叫它为，

记作：f(x)或y即:f(x)ylimx0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜xx0f(xx)f(x)

x5.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是。

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(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值. 【规律技巧】

1.求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知kf'(x0)，故当f'(x0)存在时，切线方程为yf(x0)f'(x0)(xx0). 2.要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线. 3.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数yf(x)在xx0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：

第一，求出函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；

第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程yy0f'(x0)(xx0)；如果曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为xx0. 要点1：求切线方程

ln x－2x例1、函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(

) xA．2x－y－4＝0

B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0

D．x＋y＋1＝0 解析：

f′(x)＝1－ln x，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.

x2

【探究提高】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

要点2：求参数的值

[17例1、已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为22(1，f(1))，则m的值为(

) A．－1

B．－3 C．－4

D．－2 - 2 -

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小结：导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用

fx1－fx0k＝求解．

x1－x0

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