1.1.3 四种命题间的相互关系第一课时导学案

§1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1．掌握四种命题的内在联系；

2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 重、难点

四种命题的相互关系及转化

一、课前准备

复习1：四种命题

命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

表述形式

若p,则q

复习2：判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆命题的真假.

二、自主探究

1：分析下列四个命题之间的关系

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.

（1）（2）互为

；（1）（3）互为

；（1）（4）互为

；（2）（3）互为

；

规律方法：

（1）写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所有命题. （2）在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.

通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

2、四种命题的真假性

例1 以“若x23x20，则x2”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

通过上例可总结：

真

四种命题的真假性之间有如下关系：

真

（1）

假

(2)

假

规律方法：

由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，即互为逆否命题具有等价性，所有我们在证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.

练习：判断下列命题的真假. (1)命题“在ABC中，若ABAC，则CB”的逆命题；

（2）命题“若ab0，则a0且b0”的否命题；

（3）命题“若a0且b0，则ab0”的逆否命题；

（4）命题“若a0且b0，则a2b20”的逆命题.

（1）

（2）

（3）

（4）

反思：（1）直接判断（2）利用“互为逆否命题的两个命题等价”来判断.

二

、

合作探究

例1 证明:若x2y20，则xy0.

变式：判断命题“若x2y20，则xy0”是真命题还是假命题？

练习：证明：若a2b22a4b30，则ab1.

例2 已知函数f(x)在(,)上是增函数,a,bR,对于命题“若ab0，f(a)f(b)f(a)f(.”b)

(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.

动手试试

1.求证：若一个三角形的两条边不等，则这两条边所对的角也不相等.

2.命题“如果xa2b2，那么x2ab”的逆否命题是（

）

A.如果xa2b2，那么x2ab

B.如果x2ab，那么xa2b2

C.如果x2ab，那么xa2b2

D.如果xa2b2，那么x2ab

三、总结提升：

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

四、当堂检测：

1. 命题“若x0且y0，则xy0”的否命题是（

）. 则

A.若x0,y0，则xy0

B.若x0,y0，则xy0

C.若x,y至少有一个不大于0，则xy0

D.若x,y至少有一个小于0，或等于0，则xy0

2. 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（

）. A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.等价命题

3. 用反法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是（

）. A.假设2是有理数

B.假设3是有理数

C.假设2或3是有理数

D.假设23是有理数

4. 若x1，则x21的逆命题是

否命题是

5.命题“若ab，则2a2b1”的否命题为

六、课后作业

1. 命题

“若ABA,则ABB”的

逆否命题是

3. 已知a,b是实数，若x2axb0有非空解集，则a24b0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.

2.证明：在四边形ABCD中，若ABCDACCD，则ABAC.

2. 命题

“若平面向量a,b

共线，则

a,b

方向相同”的逆否命题是

学后反思