3.1.1 变化率问题教学实录与评析

3.1.1 变化率问题

教学目标：

重点: 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；函数平均变化率的概念.

难点：如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”函数平均变化率的概念理解.

能力点：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型

，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.

教育点：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究—总结型的学习习惯. 学情分析：

学生有一定生活经验，掌握了相关学科知识，有一定的数学储备知识如直线的斜率公式；但是学生缺乏把生活经验抽象为数学问题的能力，升华为数学概念有一定的困难，因此对概念的理解造成了一定的困难。

教学内容分析：

函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，使函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而本节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础。

教学环节与活动

创设情境：

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 【设计意图】通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景. 设计说明：老师准备两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？

【设计意图】让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．对一种生活现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的. 探究新知

学生演示吹气球过程，谈感受，老师点评．

得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．

探究一：

“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？

【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望. 说明：(1)组织学生讨论问题，阐述想法；

(2)引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法；

(3)师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r之间的关系r(V)33V；②＂随着气球体积的增大，4当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值半径的增加量半径的增加量越来越小”．③比值就是气球的平均膨胀率．

体积的增加量体积的增加量提出问题：

请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率. 【设计意图】（1）让学生体会需要用数字来说明问题；学生计算，交流计算结果，并讨论结果代表的意思；

（2）让学生感受气球膨胀率大小的变化，从而体会平均膨胀率可以刻划气球半径变化的快慢．

分析: r(V)=33V，

4p⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)-r(0)?0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)-r(0)»0.62(dm/L)

1-0⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(1)?0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)-r(1)»0.16(dm/L)

2-1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)-r(V1)

V2-V1【设计意图】把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，为归纳函数平均变化率概念作铺垫．

探究二：高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？

【设计意图】高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰．通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景．

说明：教师播放郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化．

思考计算：如何计算运动员的平均速度？并分别计算0＃t0.5和1＃t2时间段里的平均速度. 在0＃t在1＃th(0.5)-h(0)=4.05(m/s)；

0.5-0h(2)-h(1)=-8.2(m/s)．

2这段时间里，v=2-10.5这段时间里，v=h 【设计意图】再次通过计算，理解平均变化率. 探究：计算运动员在0＃t65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49ot ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)4.9t6.5t10的图像，结合图形可知，h(265)=h(0)，

4965)-h(0)49所以v==0(s/m)，

65-04965虽然运动员在0＃t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，49h(

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

设计意图：这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.让学生就此探究进行思考、展开讨论，激发他们的认知需求，自然地进入导数概念的学习.

设计说明：（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上. （3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

定义：平均变化率概念: 上述问题中的变化率可用式子f(x2)-f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

x2-x1设计意图：让学生在经历从实例到抽象概括出变化率的过程中，感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念.

若设xx2x1, yf(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样yf(x2)f(x1))，则平均变化率为理解新知

说明：（1）x是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；式子中x、y的值可正、可负，但x不能为0，y的值可以为0.因此，平均变化率可正可负，也可为零．

（2）x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2； （3）yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)表示函数值的“增量”。

思考：如何计算平均变化率？

计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量xx2x1；②求函数的增量yf(x1x)f(x1)；③求平均变化率yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

xx2x1xyf(x1x)f(x1)。

xx思考：观察函数f(x)的图象平均变化率f(x2)f(x1)y表示什么？

x2x1x

【设计意图】从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想．

运用新知

例1．

求yx2在x0到x0x之间的平均变化率。

解：当自变量从x0变到x0x时，函数的平均变化率为

2f(x0x)f(x0)(x0x)2x02x0x．

xx当x取定值，x0取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样。可以由图看出变化．

变式训练：

（1）求y1在x0到x0x之间的平均变化率．

x（2）如果函数f(x)axb在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a=__________．

解：当自变量从x0变到x0x时，函数的平均

11f(x0x)f(x0)x0xx01变化率为

xx(x0x)x0【设计意图】

概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤．

例2.

某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为

15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”．

T(℃)

C(34, 33.4)

30

B(32, 18.6) 20

10

A(1, 3.5) 2

20

0 2 10 30 34 t(天)

问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数Tg(t)表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？

分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，t30,T18.63.515.10C，由此可知

T0.5033；

t 2、选择该市2004年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较，

t2,T33.418.614.80C，由此可知结论：函数值的平均变化率各段的T7.4

tT反映了温度变化的剧烈程度．

tT不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同．当tTT越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当越小，说明气温的平均变化量小，tt所以升温就越缓．

思考

1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？

2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？

【设计意图】

课堂小结

引导学生回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

数学思想：由特殊到一般，数形结合．

【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点. 布置作业

1．阅读教材P71—74；

2．书面作业

必做题：课本第79页A组1；

补充题：

已知某质点按规律s2t2t(s：单位为m，t：单位为s)做直线运动，求：

(1)该质点在前3s内的平均速度；

(2)该质点在2s到3s内的平均速度．

答案：(1)8(m/s)；(2)12(m/s)．

课后思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什么量？

【设计意图】设计作业1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题；课后思考题是让学生感受到进一步探究、学习的必要性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.

教学反思

本节课的亮点是让学生做吹气球实验和播放郭晶晶、吴敏霞跳水视频，既活跃了课堂气氛，调动了学生的学习热情，又让学生在情景中感受速度变化，效果较好。通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，由生活中的实例得出一般性的概念，符合认知规律，水到渠成。

本节内容处理较为轻松，在探究计算运动员在0＃t265这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？学生此时已经有了进一步想学习新的概念的冲动，建议如果时间允许，可以把瞬时速度一并介绍。

板书设计

3.1.1变化率问题

1.定义：

yf(x2)-f(x1)=

xx2-x1f(x1x)f(x1)称函数

xyf(x)从从x1到x2的平均变化率．

2.求平均变化率的步骤：

①求自变量的增量xx2x1；②求函数的增量例1

例2

作业

yf(x1x)f(x1)；

③求平均变化率yf(x1x)f(x1)

xx