1.2.1 充要条件优秀教案说课稿

课题

学习目标

重点难点

1.2 充分条件与必要条件

课时

1 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．

2．会具体判断所给条件是哪一种条件．

重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定．

难点：充分性与必要性的区分．

学习流程

【知识回顾】：

回顾1：请同学们画出四种命题的相互关系图.

回顾2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假. p，则q”的形式，并写

【思】

问题1：当x>3时，x>5成立吗？当x>5时，x>3成立吗？

问题2．对于任意角α、β，由α>β能得出sinα>sinβ吗？对于△ABC的内角A、B，当A>B时，sinA>sinB成立吗？

【学1】：

1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__________，“若p则q”为假，记为__________.

2．如果已知p⇒q，则称p是q的__________，q是p的__________．

【用1】

例1:

变式训练1:

已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．

“a＋b>2c”的一个充分条件是(

) [A．a>c或b>c

B．a>c或b

C．a>c且bc且b>c

[方法规律总结]

1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．

2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．

例2:

下列命题中是真命题的是(

) ①“x>3”是“x>4”的必要条件；

②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；

③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；

④“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．

A．①②

B．②③

C．②④

D．①④

变式训练2：已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[方法规律总结]

1.判断q是p的必要条件，就是判断命题“若p，则q ”成立；

2．q是p的必要条件理解要点：

①有了条件q，结论p未必会成立，但是没有条件q，结论p一定不成立．

【学2】

1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的__________，记为__________. 2．如果p⇒/

q且q⇒/

p，则p是q的________________．

3．如果p⇒q且q⇒/

p，则称p是q的_____________条件．

4．如果p⇒/

q且q⇒p，则称p是q的_____________条件．

【用2】

例1:

(2014·遂宁中学段考)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(

A.14

B．m<14或m>1

C．m<14

D．m>1

例2:

(2014·衡水中学高三期中考试)“2a>2b”是“lna>lnb”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例3:求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

)

总结：

1．在证明充要条件问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意题目给出的推式，若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”就是p⇒q．若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

2．证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后再加以证明．

【达标检测】：

1．(2013·湖南文，2)“1

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．(2014·揭阳一中期中)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的(

) A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．(2013·北京理，3)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．(2014·长春市调研)已知p：|x－2|≤3，q：x＋1≤0，则p是q的(

) x－5A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的(

) A．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

17．(2014·重庆市万州分水中学期中)“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂2直”的(

) A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ab8．“b2＝ac”是“＝成立”的(

) bcA．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．(2014·武汉调研)已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(

) A．[－1,1]

B．[－4,4] C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

10．(2014·吉林市二模)若x，y∈R，则x、y≤1是x2＋y2≤1成立的(

) A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[来源:Zxxk.Com]11. (2014·广饶一中期末)a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

12．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

13. 求证：ABC是等边三角形的充要条件是abcabacbc，这里a,b,c是ABC的三边.

222

14．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.

【学习小结】

[来源:Z§xx§k.Com]

【用1】

例1:

已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．

[答案]

(－∞，－8] m[解析]

p：x>－，q：x<0或x>4，由条件知p⇒q，

2m∴－≥4，∴m≤－8. 2

变式训练1:

“a＋b>2c”的一个充分条件是(

) A．a>c或b>c

B．a>c或b

C．a>c且bc且b>c

[解析]

a>c且b>c⇒a＋b>2c，

a＋b>2c⇒/

a>c且b>c，故选D.

例2:

下列命题中是真命题的是(

) ①“x>3”是“x>4”的必要条件；

②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；

③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；

④“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．

A．①②

B．②③

C．②④

D．①④

[答案]

D [分析] 根据必要条件的定义进行判断．

[解析] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题；函数f(x)的定义域关于坐标原点对称函数f(x)为奇函数，函数f(x)为奇函数⇒函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题，∴选D.

变式训练2：已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] A [解析] 本题考查了充要条件的判断．

当a＝3时，A＝{1,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．

【用2】

例1:

(2014·遂宁中学段考)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(

) 111A.

B．m<或m>1

C．m<

D．m>1 444[解析]

由方程表示圆的条件知，(4m)2＋(－2)2－4·(5m)>0，

1∴m<或m>1，故选B. 4

例2:

(2014·衡水中学高三期中考试)“2a>2b”是“lna>lnb”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]

B [解析]

当lna>lnb时，a>b>0，则2a>2b；当2a>2b时，a>b，此时无法得出lna>lnb，即当b

例3:求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

[证明]

必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一负根．

c所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ac充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0.(x1，x2为方程的两根) a所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号．

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

【达标检测】：

1．(2013·湖南文，2)“1

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

A [解析]

因为“12”，而x>2⇒/ “12”的充分不必要条件，故选A. 2．(2014·揭阳一中期中)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的(

) A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

A [解析]

M＝{x|－1

3．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

C [解析]

∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C.

4．(2013·北京理，3)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

A [解析]

本题考查充要条件及三角函数的性质．

当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，φ可以取其他值．选A.

5．(2014·长春市调研)已知p：|x－2|≤3，q：x＋1≤0，则p是q的(

) x－5A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

B

6．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的(

) A．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

B [解析]

在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，则A＋C＝180°－60°＝120°，∴A＋C＝2B，∴△ABC三个内角A，B，C成等差数列．若△ABC三个内角A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°.故选B.

17．(2014·重庆市万州分水中学期中)“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂2直”的(

) A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

B [解析]

(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，即(m＋2)(4m－2)＝0. 11∴m＝－2，或m＝.故m＝为两直线垂直的充分不必要条件．

22

ab8．“b2＝ac”是“＝成立”的(

) bcA．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

C ababab[解析]

b2＝ac⇒/ ＝，如b＝0，c＝0时，b2＝ac，而，无意义．但＝⇒b2＝ac，

bcbcbcab∴“b2＝ac”是“＝”的必要不充分条件．

bc

9．(2014·武汉调研)已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(

) A．[－1,1]

B．[－4,4] C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) [答案]

C [解析]

p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m>0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，m>0，依题意，3－m≤－13＋m≥4[来源:Z*xx*k.Com]

m<0，，或3＋m≤－1，3－m≥4，

解得m≤－4或m≥4.选C. 10．(2014·吉林市二模)若x，y∈R，则x、y≤1是x2＋y2≤1成立的(

)

A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

A [解析]

x2＋y2≤1⇒x，y≤1而当x＝－5，y＝－2时，满足x，y≤1，但x2＋y2≤1不成立，所以x，y≤1⇒/ x2＋y2≤1，故选A.

11. (2014·广饶一中期末)a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[正解]

B f(x)＝(xa＋b)·(xb－a) ＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b

＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b. 充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，

∴f(x)＝x(b2－a2)，

若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数；若|a|＝|b|，

则f(x)是常函数，∴充分性不成立．

必要性：∵f(x)是一次函数，

∴a·b＝0且b2－a2≠0，

∴a⊥b且|b|≠|a|，

∴必要性成立．

综上可知应选B.

12．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

[分析]

可将r，p，q，s的关系用图表示，然后利用递推法结合图示作答．

[解析]

由图示可知，

(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．

(3)因为q⇒s⇒r⇒p，⇒/

q，所以p是q的必要不充分条件．

13. 求证：ABC是等边三角形的充要条件是abcabacbc，这里a,b,c是ABC的三边.

222

14．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. [证明]

(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，

方程x2＋mx＋1＝0有实根，

设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，

由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，

又∵x1＋x2＝－m≤－2，

∴x1，x2同为负根．

(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，

1∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－x1＋x－2 1()x2x1＋121＋2x1＋1＝－＝－≥0. x1x1∴m≥2.综上(1)，(2)知命题得证．