1.1.3 四种命题间的相互关系PPT专用课堂实录内容

四种命题间的相互关系

【教学目标】四种命题间的相互关系及四种命题的真假性的判断. 【重点】会写四种命题并判断其真假. 【难点】利用四种命题间的相互关系判断命题的真假.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第6 页～第8页）

1.四种命题 . 命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

表现形式

若p，则q

若q，则p（1）

若p，则q（2）

若q，则p（3）

请填（1）（2）（3）空格

2.分析下列四种命题之间的关系. （1）若fx是正弦函数，则fx是周期函数；

（2）若fx是周期函数，则fx是正弦函数；

（3）若fx不是正弦函数，则fx不是周期函数; （4）若fx不是周期函数，则fx不是正弦函数. (1)(2)互为 互逆命题 ，（1）（3）互为 互否命题 ，

（1）（4）互为 逆否命题 ，（2）（3）互为 逆否命题 . 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

若p，则q 若q，则p

互逆

原命题

逆命题

互

互

互互为

为

否否逆

逆

否

否

否命题

逆否命题

互逆

若¬p，则¬q 若¬q，则

¬p

3.四种命题的真假性

原命题

真

真

假

逆命题

真

假

真

否命题

真

假

真

1 逆否命题

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

（1）

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 ；

（2）

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 . 4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若p，则q若q，则p”，即欲证“若p，则q”为真，可由假设“非q”来证明“非p”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若p，则q“是真命题. 【基础练习】

1.下了四个命题：①命题“若xy1，则x,y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等的三角形全等“的否命题；③命题”若m1，则x22xm0有实根“的逆否命题；④命题”若ABB，则AB“的逆否命题. 其中是真命题的是 ①②③ （填上你认为正确的命题序号）. 2.下列说法中正确的是（

Ｄ

）

（Ａ）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真. (B)“ab”与“acbc”不等价

（C）“若a2b20，则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0，则a2b20”

（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

23.命题“若m0，则xxm0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（ C ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 24.命题“若a5，则a25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是（ C ）. （A）原命题、否命题 （B）原命题、逆命题

（C）原命题、逆否命题 （D）逆命题、否命题

【典型例题】

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. 22(1)

若ab，则acbc；

(2)

若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形. 【审题要津】.本题已具备“若p,则q”的形式，因此可直接写出他们的四种命题. 22解：（1）逆命题：若acbc，则ab，（真命题）. 22否命题：若ab，则acbc，（真命题）. 22逆否命题：若acbc，则ab,（假命题）. （2）逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，（真命题）. 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，（真命题）.

2

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，（真命题）. 【方法总结】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写. 变式训练1：已知命题甲：“若q，则p”，命题乙：“若q，则p”，则甲与乙两个命题的关系式 互否命题 . 例2 已知奇函数fx是定义在R上增函数，若fafb0，求证ab0. 【审题要津】当个命题不好证明的时候，可以写出它的逆否命题，只需要证明逆否命题正确就可以. 解：其逆否命题为：已知奇函数fx是定义在R上增函数，若ab0，则fafb0. ab0,ab

又函数fx是定义在R上的增函数，

fafb

有函数fx是奇函数，所以fbfb，故

fafb=fb

所以fafb0. 【方法总结】本题还可以利用反证法来证明. 变式训练 2：已知函数fx是定义在R上的增函数，a、bR，若ab0，求证fafbfafb. 【审题要津】注意ab0可变形为：ab或ba. 解：由于ab0可得ab或ba，又由于函数fx是定义在R上的增函数，

fafb,fba

故fafbfafb

【方法总结】注意式子的变形应用，同时还可以把它看成命题写出它的逆否命题、逆命题，然后证明其命题的真假.

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