1.2.1 充分条件与必要条件教学设计第一课时

1.2.1充分条件与必要条件（第1课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；

2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；

3．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性．

（二）学习重点

充分条件、必要条件的概念．

（三）学习难点

充分条件、必要条件的判断．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）充分条件：如果p⇒q，则p叫做q的_________条件，原命题（或者逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的_________条件．

（2）必要条件：如果q⇒p，则p叫做q的_________条件，逆命题（或者否命题）成立，命题中的条件是必要的，也可称q是p的_________条件．

预习自测

1．用符号“”与“”填空：

（1）

xy xy；

（2）

内错角相等 两直线平行；

（3）

整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；

（4）

acbc ab. 【知识点】充分条件的判断．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】

   

．

2．下列“若p，则q

”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x23x40； （2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】（1）（2）显然成立；（3）中若x222为无理数，而x22为有理数．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

3．下列“若p，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若x5，则x10．

【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】（1）中斜率相等的直线可能平行或重合；（2）显然不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）中p都不是q的充分条件．

4．下列“若p，则q

”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若ab，则acbc．

【知识点】必要条件的判断．

【解题过程】q是p必要条件等价于p是q的充分条件．（1）（2）显然成立；（3）a0，b0时不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）四种命题的表示形式；（2）四种命题的关系；（3）四种命题的真假判断．

2．问题探究

探究一 结合实例理解充分条件与必要条件

●活动①

创设情境，引入概念 写出下列两个命题的条件和结论，并判断它们的真假．（抢答）

（1）若x>10，则x>5； （2）若x+y>2，则x>2．

学生很快就可以回答命题的条件和结论并判断出（1）真（2）假．

问题：对于“若p则q”形式的命题，时真时假，如何判断它的真假呢？

答：若p能推出q，则为真命题，若p不能推出q，则为假命题．

【设计意图】通过强调命题的条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫，命题有真有假．通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程．

●活动② 概念辨析，巩固概念

当命题“如果p，则q”经过推理证明为真命题时，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”

．

定义：一般地，如果有p⇒q，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．

例如活动①中的例子“若x>10，则x>5”是一个真命题，则可以写成“x>10⇒x>5”．所以x>10是x>5的充分条件，x>5是x>10的必要条件．

强调说明：“p⇒q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．

【设计意图】通过概念辨析，加深对充分条件、必要条件的理解，提升学生的认识水平，从不同角度帮助学生理解“充分”和“必要”．

●活动③ 例题剖析．

例1 判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p：a>b q：ac>bc； （2）p：x为无理数 q：x2为无理数；

（3）p：xa2b2 q：x>2ab； （4）p：两条直线的斜率相等 q：两条直线平行．

【知识点】充分条件．

【解题过程】（1）（2）（3）（4）中p不能推出q，所以p不是q的充分条件．

【思路点拨】判断p是否是q的充分条件，就看p能否推出q．

同类训练

指出下列各组题中，p是q的什么条件？

（1）p：x1 q：x2； （2）在四边形中，p：

四个角均为90 q：四边形为正方形．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】（1）x1x2 pq

又因为对于q：x2也成立，但对于p：21不成立 qp 所以p是q的充分条件．

（2）四边形为长方形时，pq；四边形为正方形时，四个角均为90，即qp

所以p是q的必要条件．

【思路点拨】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式，以全面认识和理解概念．

探究二 充分条件、必要条件的判定

●活动①

知识点归纳

从集合的角度理解充分条件与必要条件：设集合Px|p(x)|，Q=x|q(x)．

（1）pq，相当于PQ，即

或

即：要使xQ成立，只要xP就足够了．

（2）qp，相当于QP，即

或

即：为使xQ成立，必须要使xP．

可以归纳为以下两点：

（1）若PQ，则p是q的充分条件． （2）若QP，则p是q的必要条件．

【设计意图】（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备．

●活动② 例题剖析．

例2判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？

（1）p：x|x3 q：x|x5； （2）p：x|x0 q：x|x0；

（3）p：同位角相等 q：两直线平行； （4）p：四边形对角线相等 q：四边形是平行四边形．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】因为在（2）（3）中都有pq，所以，（2）（3）中q是p的必要条件．在（1）（4）中都有pq，所以，在（1）（4）中q不是p的必要条件．

【思路点拨】

由集合的包含关系确定q与p的关系．

同类训练 判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件？p是不是q的必要条件？

（1）p：xx q：x20； （2）p：tan1 q：=（3）p：直线l与平面内的两条相交线垂 q：直线l与平面垂直；

（4）p：函数f(x)满足f(0)0 q：函数f(x)是奇函数．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】（1）pq，qp； （2）pq，qp；

（3）pq，qp； （4）pq，qp．

【思路点拨】由集合的包含关系确定q与p的关系．

【答案】（1）p是q的充分条件，p不是q的必要条件； （2）p不是q的充分条件，p是q的必要条件；

（3）p是q的充分条件，p是q的必要条件； （4）p不是q的充分条件，p是q的必要条件．

3.

课堂总结

知识梳理

4；

1．充分条件、必要条件的定义； 2．充分条件和必要条件的判定．

重难点归纳

判断充分条件、必要条件时，一定要牢记：在“若p则q”中，若pq，则p是q的充分条件，q为p的不必要条件．

（三）课后作业

1．在△ABC中，“sin 2A＝3”是“A＝30°”的________条件．

2【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】若A＝30°，显然有sin 2A＝33，但sin 2A＝时，在△ABC中，有2A＝60°或2A＝120°，即不

22一定有A＝30°，故“sin 2A＝3”是“A＝30°”的必要不充分条件．

2【思路点拨】熟悉充分、必要条件的形式．

2．“(x1)(x3)0”是“x1”的________条件．

【知识点】充分条件、必要条件及不等式的解法．

【解题过程】(x1)(x3)0等价于1x3，因此“(x1)(x3)0”是“x1”的充分不必要条件．

【思路点拨】

熟悉充分、必要条件的形式．

3．已知a,bR，则下列四个条件中，使ab成立的必要条件是（ ）

A. ab1 B. a3b3 C.ab D. ab1

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】A. 若ab1，则ab成立，反之不成立，所以ab1是ab的充分不必要条件；

B.a3b3成立，则ab成立，反之也成立，所以a3b3为ab的充要条件；

C.ab是ab成立的既不充分也不必要条件；

D.若ab成立，则ab1一定成立，反之不成立,所以ab1为ab的必要不充分条件．

【思路点拨】

熟悉充分、必要条件的形式．

4．设是两个单位向量，其夹角为，则“63”是“”的________条件．

【知识点】平面向量的数量积运算以及充分条件、必要条件的判定．

【解题过程】因为是两个单位向量，其夹角为，所以ab1的充要条件是112cos1，即03，因为(,)是(0,)的真子集，所以“”是“63363”的充分不必要条件． 【思路点拨】判定与数集有关的充分条件和必要条件时，往往转化成判定数集间是否存在包含关系，即利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定．

【答案】充分不必要条件