3.1.3 空间向量的数量积运算优秀教案案例

3．1.3 空间向量的数量积运算教案

人教版A版选修2-1

授课教师：潘秀月

【教学目标】

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法

2.掌握两个向量的数量积的概念、性质，用数量积解决立体几何的简单问题。

【教学重、难点】

重点：掌握空间向量的数量积的概念、性质、运算．

难点：利用空间向量的数量积求夹角问题.

【学情分析】

数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积．通过向量积的运用，培养数学应用意识. 【学习过程】

一、情境导入

二、新课讲解

问题1：两个向量的夹角如何定义？

→1.夹角定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞

观察上图你能说出夹角范围吗？

π2.a和b的夹角的范围是：[0，π]

特别当a,b＝2时，a与b互相垂直，记作a⊥b

练一练

如图，在正方体中指出各对向量的夹角。

（1）AB与A1C1

(2)AB与

C1A1

(3)AB

与A1D1

(4)AB与B1A1

解：（1）45°

（2）135°

（3）90°

（4）180°

问题2：如何定义空间向量的数量积？

3.数量积的定义：已知a，b是两个非零向量，

abcosa,b

则叫

a做a，b的数量积，记作



b

即

a

·

b＝

abcosa,b

规定，零向量与任一向量的数量积为零

，即0·a＝0

问题3：类比平面向量，理解空间向量的几何意义。

4.a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的的乘积．

问题4：空间向量有哪些性质？

若非零向量a，b，若e是单位向量．

①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos

②a·b＝0⇔a⊥b. ③a·a＝|a|2. a·b④夹角公式cos＝|a||b|；

练一练

已知|a|=22，|b|=2，a·b= -2，则a与b的夹角大小为135°

2bcos

问题5：空间向量数量积的运算律？

(1)(λa)·b＝

λ(a·b)

（2）交换律：a·b＝b·a

(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c

三、例题分析

【例1】

已知向量满足|a|=3，|b|=4，=求（1）a·b

（2）a

2

3

( 3)（a+2b）（a-b）

（4）|a-b|

解：（1）

a





a

b



（

2

）

COSba213426

3a2

329（3）（a+2b）（a-b）

（4）

ab a2ab2b2ab2229621617a2abba26b912161322aab2ba2b

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变式1 设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝-62

；(2a＋b)2＝

109

解：(a＋3c)·(3b－2a) 3ab2a9bc6ac302a9bccos6006accos600112593865822622

2

2

(2a＋b)2

4a4abb22224a40bOAa,OBb,OCc

45310922

各11OEOAOBab22【例2】如图，已知空间四边形OABC边及对角线长都相等，E，F分别为1AB，OC的中点，OE·BF＝－,求异2面直线OE与BF所成角的余弦值．

解：设棱长为1

AOBBOCAOC31abbcca2

11BFOFOBOCOBcb22

3OEBF2

所以OE与BF所成角的余弦值为

变式训练2 如图所示，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，

DE521A1C1DE2

解：

试求向10量与所成角的余弦值．

10设正方体的棱长为1

AC211

cosA1C1,DE

A1C1DEA1C1DE21

OEBF22cosOE,BF333所以A1C1与DE所成角OEBF的余弦值为

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四、课堂小结

1、同学们，本节课我们学习了空间向量数量积哪些知识呢？

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答：数量积的概念、性质、运算

2、空间向量数量积可以解决几何图形哪些简单问题？

答：利用空间向量数量积求角度问题

五、作业

课本P97

习题3.1第3题第5题

六、板书设计

3.1.3

空间向量的数量积运算

1.夹角概念

2.数量积概念

3.a·b的几何意义

4.性质

5.运算律

七、教学反思

反思：充分应用多媒体教学，形象直观表达数学图形；设置课堂时间适合，总体流畅；但学生课堂氛围不够热烈，可能原因例题层次跟学生基础知识不匹配;学起来有些吃力，今后注意备学生课。

例1 例2

变式1 变式2