第四章 圆与方程（通用）教案1

第四章

圆与方程(通用）

4.1.1 圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r

①

化简可得：(xa)(yb)r

②

62224A2M-55-2-4

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引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

例（2）：

222ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

（教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6

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总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本p127第1、3、4题

提炼小结：

1、

圆的标准方程。

2、

点与圆的位置关系的判断方法。

3、

根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本p130习题4.1第2、3、4题

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能

：

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

王新敞教

具：多媒体、实物投影仪

王新敞教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

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利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．

把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

取D2a,E2b,Fa2b2r2得

x2y2DxEyF0

①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x＋y＋Dx＋Ey＋F=0配方得

22D2E2D2E24F(x)(y)

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不224是表示圆？

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D2E24F0时，表示以（--1ED2E24F为半径的圆；

）为圆心,2222（2）当DE4F0时，方程只有实数解xD，2DE，y，即只表示一个22点（-ED，-）; 2222（3）当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞综上所述，方程xyDxEyF0表示的曲线不一定是圆 22王新敞只有当DE4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如22x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程x1y24

2王新敞第

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我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x和y的系数相同，不等于0．

②没有xy这样的二次项．

22 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究：

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

14x24y24x12y90

2224x4y4x12y110学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于14x24y24x12y90来说，这里的

9D1,E3,F而不是D=-4,E=12,F=9. 4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0

∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

F0即DEF20

4D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0

王新敞∴所求圆的方程为：xy8x6y0

22王新敞第

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r1DFD2E24F5；4,3

222王新敞得圆心坐标为（4，-3）. 或将x2y28x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2(y3)225,从而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3)

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：

①、根据提议，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

王新敞2例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x1y4运动，2求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程x12y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是3且M是线段AB的重点，所以x0,y0.由于点B的坐标是4，xx04y3,y0, ① 22于是有x02x4,y02y3因为点A在圆x1y24上运动，所以点A的坐标满足方程x1y24,2即x01y04222

x01

2y024 ②

把①代入②，得

p130

2233x-y2x412y34,整理，得1

2233所以，点M的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆

2222第

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y64A2-5MB5O-2-4x 课堂练习：课堂练习p130第1、2、3题

小结

：

1．对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆)

王新敞2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹。

王新敞王新敞课后作业：p130习题4.1第2、3、6题

4.2.1

直线与圆的位置关系

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

2、过程与方法

设直线l：axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆心(DE,)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

22（1）当dr时，直线l与圆C相离；

（2）当dr时，直线l与圆C相切；

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（3）当dr时，直线l与圆C相交；

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点：

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

三、教学设想

问

题

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？

设计意图

启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．

2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

得出直线与圆的位置关系的师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系师生活动

师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．

生：看图，并说出自己的看法．

几何特征与种类．

的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．

问

题

设计意图

师生活动

生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．

3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？

使学生回忆师：引导学生回忆初中判断直初中的数学知识，线与圆的位置关系的思想过程．

培养抽象概括能力．

抽象判断直线与圆的位置关生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．

师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程系的思路与方法．

说明判断方法．

生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．

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5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？

体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系．

师：指导学生阅读教科书上的例1．

生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．

6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？

使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤．

生：阅读例1．

师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．

生：交流自己总结的步骤．

师：展示解题步骤．

7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？

进一步深化“数形结合”的数学思想．

师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．

生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．

问

题

8．通过例2的学习，你发现了什么？

设计意图

明确弦长的运算方法．

师生活动

师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．

生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．

9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4．

巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系．

师：引导学生完成练习题．

生：互相讨论、交流，完成练习题．

10．课堂小结：

教师提出下列问题让学生思考：

（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？

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（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何求出直线与圆的相交弦长？

作业：习题4．2A组：1、3．

4.2.2

圆与圆的位置关系

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．

2、过程与方法

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；

（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；

（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点：

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．

三、教学设想

问

题

1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？

设计意图

结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣．

师生活动

教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．

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2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？

引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置

教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．

师生活动

学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．

问

题

设计意图

关系的方法．

3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？

4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？

培养学生“数教师应该关注并发现有多少学形结合”的意识．

生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．

进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．

利用判别式来探求两圆的位置关系．

师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．

生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．

师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．

生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．

5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？

进一步激发学生探求新知的精神，培养学生

6．如何判断两个圆的位置关系呢？

从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法．

师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？

引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方第

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法．

7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．

巩固方法，并培养学生解决问题的能力．

问

题

8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？

设计意图

得出两个圆的相交弦所在直线的方程．

师：指导学生完成练习题．

生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．

师生活动

师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．

生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．

9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？

10．课堂小结：

教师提出下列问题让学生思考：

（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？

（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？

作业：习题4．2A组：4、7．

进一步验证相交弦的方程．

师：引导学生验证结论．

生：互相讨论、交流，验证结论．

4.2.3

直线与圆的方程的应用

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；

（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

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第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点：

重点与难点：直线与圆的方程的应用．

三、教学设想

问

题

1．你能说出直线与圆的位置关系吗？

设计意图

启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．

2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？

理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．

师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．

生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．

问

题

3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？

设计意图

指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．

2．

师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．

4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？

使学生加深对圆的方程的认教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐师生活动

师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．

生：自学例4，并完成练习题1、师生活动

师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．

生：回顾，说出自己的看法．

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识．

5．你能利用“坐标法”解决例5吗？

巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力．

标的值．

师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．

生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．

6．完成教科书第140页的练习题2、3、4．

使学生熟悉平面几何问题与教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教代数问题的转化，师要注意引导学生思考平面几何问加深“坐标法”的解题步骤．

7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？

反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识．

8．小结：

（1）利用“坐标法”解决问

问

题

题的需要准备什么工作？

（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？

（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？

（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？

作业：习题4．2B组：1、2．

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题与代数问题相互转化的依据．

学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．

对知识进行师：指导学生完成练习题．

归纳概括，体会利

生：阅读教科书的例3，并完成第

设计意图

用“坐标法”解决师生活动

教师引导学生自己归纳总结所实际问题的作用．

学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．

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