第四章 圆与方程（通用）PPT及专用教学设计内容

圆的一般方程

湖北省来凤县第一中学 田延斌

教学目标：

1、知识与技能：

(1)理解圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径。掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程。

(3)掌握待定系数法求圆的方程。

2、过程与方法：通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探究，培养学生由特殊到一般的探究问题的实际能力。渗透分类讨论思想、方程思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想方法。

3、情感态度价值观：激励学生创新，勇于探索。培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

教学重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 王新敞教学方法：启发、探究式

教学过程：结合本节内容特点和学生认知水平，本节内容将采用特殊到一般，由具体到抽象的教学设计。

一、类比学习、复习引入新课

1、类比直线一般方程的定义和探究方法，引入本节课题和探究问题。

2、复习圆标准方程：

222

圆的标准方程

：(xa)(yb)r圆心为C(a,b)，半径为r，若圆心在222坐标原点上，这时ab0，则圆的方程就是xyr

王新敞3．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径

y王新敞圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条rC(a,b)M王新敞Ox件

确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决

王新敞王新敞

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二、探究新课：

1、圆的一般方程探究

⑴将标准方程(x3)2(y4)26展开得x2y26x8y190，并让学生做课后练习第1题，意图是让学生掌握利用配方法将一般方程化成标准方程，并求半径、圆心，同时体会圆一般方程的结构特点。

⑵将圆的标准方程(xa)2(yb)2r2的展开式为：

x2y22ax2by(a2b2r2)0

王新敞取D2a,E2b,Fa2b2r2得

x2y2DxEyF0 ①

通过学生实际操作、观察、抽象、归纳得到一般性结论：任何一个圆的方程都是二元二次方程。

⑶探究：任何一个圆的方程都是二元二次方程，反之成立吗？

两个特例：(1)xy2x4y10配方得(x1)(y2)4

以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆

2222(2)x2y22x4y60配方得(x1)2(y2)21不是圆

所以xyDxEyF0表示的不一定是圆。

⑷探究xyDxEyF0表示圆的条件

将方程xyDxEyF0配方，得

222222D2E2D2E24F (x)(y) ②

224不难看出，此方程与圆的标准方程的关系

①当DE4F0时，表示以（-为半径的圆；

22②当DE4F0时，方程只有实数解x221EDD2E24F，-）为圆心,222DE，y，即只表22示一个点（-ED，-）; 22

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③当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

22王新敞综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆 王新敞只有当DE4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如22x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程

王新敞圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而

一般方程突出了方程形式上的特点：

①x和y2的系数相同，且不等于0；

②没有xy这样的二次项

2王新敞但要注意：以上两点是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的必要条件，但不是充分条件 王新敞看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D,E,F就可以了

王新敞课堂练习（见课件），巩固定义。

三、讲解范例：

例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：xyDxEyF0

∵三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

2252125DEF0D422即7(1)7DEF0E6

F1222822D8EF0∴所求圆的方程为：xy4x6y120

22即(x2)2(y3)225

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在课件上展示三种方法，让学生体会不同方法的优劣。

学生总结待定系数法的步骤，见课件。

并化一般方程。练习1、求过点A(5,1),圆心为(8,3)的圆的方程，

练习2、求过三点A(0,0),B(6,0),C(0,8)的圆的方程.

两个练习的目的是让学生体会如何设方程，解题过程见课件。

1、若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. 四、课堂小结：让学生自己总结，老师完善。

1．对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆)

2、若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 王新敞2．一般方程与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 王新敞王新敞4.类比学习方法与由特殊到一般的探究问题方法。

5.体会分类讨论思想、方程思想、数形结合思想、转化与化归等思想。

五、课后作业：123页T3 124页T2,T3,T4 六、板书设计（略）

王新敞七、课后记：

王新敞

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