小结优秀公开课教案

学习目标

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°. 存在，α≠90°，(2)k＝

不存在，α＝90°.

(3)斜率的求法：

①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．

2．直线方程的几种形式的转化

3．两条直线的位置关系

设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；

A1B1C1(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．

A2B2C24．距离公式

(1)两点间的距离公式．

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. (2)点到直线的距离公式．

|Ax0＋By0＋C|①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

A2＋B2②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2|. A2＋B2

类型一

待定系数法的应用

例1

直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．

解

方法一

设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－24x0＋y0＋3＝0，－x0，4－y0)，并且满足

3－2－x－54－y－5＝0，004x0＋y0＋3＝0，即

3x0－5y0＋31＝0，x0＝－2，解得

y0＝5，

y－2x－－1因此直线l的方程为＝，

5－2－2－－1即3x＋y＋1＝0. 方法二

设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋2＝0. kx－y＋k＋2＝0，由

4x＋y＋3＝0，

－k－5得x＝. k＋4kx－y＋k＋2＝0，由

3x－5y－5＝0，－5k－15得x＝. 5k－3则－k－5－5k－15＋＝－2，

k＋45k－3解得k＝－3. 因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋1＝0.

方法三

两直线l1和l2的方程为

(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，

①

将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，

整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：

(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.

②

①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程．

反思与感悟

待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法求解．选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．

跟踪训练1

求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．

解

当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，

即kx－y＝0. 由题意知|3k－1|＝2，

k2＋11解得k＝1或k＝－. 7所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0. 当直线不经过原点时，

xy设所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. aa|3＋1－a|由题意知＝2，

2解得a＝2或a＝6. 所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 类型二

分类讨论思想的应用

例2

过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

解

当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．

当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx. 2令y＝0，得x＝－1与x＝－. k2由题意得|－1＋|＝1，即k＝1. k

∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 综上可知，所求的两直线方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 反思与感悟

本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．

跟踪训练2

已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．

3a－0解

l1的斜率k1＝＝a，

1－－2－2a－－11－2a当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. aa－0∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，

1－2a即a·＝－1，得a＝1. a当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，

A(－2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 综上可知，实数a的值为1或0. 类型三

最值问题

命题角度1

可转化为距离求最值的问题

例3

求函数y＝|x2－2x＋5－x2－4x＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．

解

将已知条件变形为

y＝|x－12＋22－x－22＋12| ＝|x－12＋0－22－x－22＋0－12|. 故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，

∴原函数变为y＝||MA|－|MB||. 则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，y取最小值0.

即x－12＋4＝x－22＋1，解得x＝0，此时点M在坐标原点，

y最小＝0. 又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，也即当A、B、M三点共线时，y取最大值．

由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)，

即y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，

∴当x＝3时，y最大＝|AB|＝2－12＋1－22＝2. 反思与感悟

数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合．

跟踪训练3

已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．

解

设点P(x，y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，

x2＋y2＝(x2＋y2)2＝(x－02＋y－02)2＝|OP|2，

如图所示，当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|，

原点O到直线l的距离|OM|＝d＝即|OP|的最小值是2. 所以x2＋y2的最小值是4. 命题角度2

利用对称性求最值

例4

已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

解

(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，

n－0m－2＝－2，则m＋2n＋0－2·＋8＝0，22|－10|＝2，

42＋32

m＝－2，解得故A′(－2,8)．

n＝8，

因为P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

x＝－2，x＝－2，解得

x－2y＋8＝0，y＝3，

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，

y＝x－2，x＝12，解得

x－2y＋8＝0，y＝10，

故所求的点P的坐标为(12,10)．

反思与感悟

(1)中心对称

①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．

②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．

(2)轴对称

两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．

跟踪训练4

在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．

解

(1)如图，B关于l的对称点B′(3,3)．

直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，

2x＋y－9＝0，由

3x－y－1＝0，x＝2，解得

y＝5，

即P(2,5)．

324(2)如图，C关于l的对称点C′(，)，

55

由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|. 1126当P是AC′与l的交点P(，)时“＝”成立，

771126∴P(，)．

77

1．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是(

) 2A.

321C.，－

32答案

D 解析

因为平行于x轴的直线斜率为零，所以由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)A得k＝－＝0⇒A＝0，B≠0，即6a2－a－2＝0,3a2－5a＋2≠0.本题易错在忽视B≠0这一条件B而导致多解．

2．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距b(b≠0)，则(

) A．kb<0

C．kb>0

答案

B 解析

由题意得直线l的方程为y＝kx＋b(b≠0)，

∵直线l不经过第三象限，

∴k≤0，b>0，∴kb≤0. 3．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为(

) A．x＋y－1＝0

C．x＋y＋1＝0

答案

A 解析

直线l：x－y＋1＝0与两坐标轴的交点分别为(－1,0)和(0,1)，因为这两点关于y轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，所以直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为x＋y－1＝0. 4．若直线mx－(m＋2)y＋2＝0与3x－my－1＝0互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为_____．

答案

0或5 B．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 B．kb≤0 D．kb≥0 1B.

21D．－

2

解析

由题意，得3m＋m(m＋2)＝0，

解得m＝0或－5，

∴点(m,1)到y轴的距离为0或5. 5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为________．

答案

3x＋y－13＝0 解析

由题意知直线l与AB垂直，且过A点，

∴kl·kAB＝－1，

又∵kAB＝4－21＝，

3＋33∴kl＝－3，

∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，

即3x＋y－13＝0.

1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0. 2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

课时作业

一．选择题

1．已知直线PQ的斜率为－3，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是(

) A．－3

B．0

C.3

D.答案

C 解析

由直线PQ的斜率为－3得直线的倾斜角为120°，故绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为3. 2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(

) 322A．－

B．－

C.

D．2 235答案

A 3

3

y－1x＋13解析

由两点式＝，得y＝2x＋3，令y＝0，有x＝－，即为在x轴上的截距．

29－13＋13．若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(

) A．1和2

C．1和－2

答案

C m1解析

由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，n2解得m＝1. 4．已知直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，当A>0，B<0，C>0时，直线l必经过(

) A．第一、二、三象限

C．第一、三、四象限

答案

A AC解析

直线l的方程可化为y＝－x－，

BB∵A>0，B<0，C>0，

AC∴－>0且－>0.故直线l经过第一、二、三象限．

BB5．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是(

) A．(2,0)或(4,6)

C．(4,6)

答案

A kBC＝－1，kAC·解析

设B点坐标为(x，y)，根据题意可得

|BC|＝|AC|，B．－1和2 D．－1和－2 B．第二、三、四象限

D．第一、二、四象限

B．(2,0)或(6,4) D．(0,2)

3－4y－3＝－1，3－0·x－3即

x－32＋y－32＝0－32＋4－32，x＝2，x＝4，解得或

y＝0y＝6，

所以B(2,0)或B(4,6)．

6．已知点P(x，y)在直线2x－y＋5＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(

) A.5

C．25

答案

A B.10 D．210

解析

直线上的点到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式|2×0－0＋5|得d＝2＝5.故选A. 2＋－127．已知点A(1,1)，B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则l的方程为(

) A．2x－y－3＝0 B．x＝2 C．2x－y－3＝0或x＝2 D．以上都不对

答案

C 解析

当A、B都在l的同侧时，

设l的方程为y－1＝k(x－2)，

此时，AB∥l，所以k＝kAB＝5－1＝2，l的方程为2x－y－3＝0. 3－1当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C. 8．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(

) 11A.

B．－

C．2

D．－2 22答案

A 13解析

l1关于直线y＝－x的对称直线为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，

221所以l2的斜率为，故选A. 2二、填空题

9．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是_____．

答案

l1⊥l2

解析

将A(4，－1)点的坐标代入ax－y＋1＝0，

11得a＝－，则kl1·＝－×2＝－1，

kl222∴l1⊥l2. 10．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则坐标原点到直线mx＋ny＝5的距离为________．

答案

2

23×2－m－1＝0，解析

将x＝2，y＝－1代入直线方程可得

4×2＋3×－1－n＝0，m＝5，解得

n＝5，

∴直线mx＋ny＝5可化为x＋y－1＝0. |－1|2则坐标原点到直线x＋y－1＝0的距离为＝. 2211．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________. 答案

34

5解析

由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，

于是n－31＝－m－72，解得31n＝5，三、解答题

3m＝，53＋n7＋m＝2×－3，22

34故m＋n＝. 512．已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？

解

当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2. 当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．

1m216当m≠0且m≠2时，由＝，得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3. m－23mm－22m故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．

(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2. (3)当m＝3时，l1与l2重合．

四、探究与拓展

13．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________．(填序号) 4①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1. 3答案

②③

解析

根据题意，关键是看所给直线上的点到定点M的距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到各直线的距离来分析．

①由点到直线的距离公式得d＝6＝32>4，故直线上不存在点P到M的距离等于4，不是2

“切割型直线”；

②由点到直线的距离公式得d＝2<4，故直线上可以找到两个不同的点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；

③由点到直线的距离公式得d＝4，是“切割型直线”；

④由点到直线的距离公式得d＝“切割型直线”．

14．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC. (1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；

(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．

(1)证明

设直线l1与直线l3的交点为A. mx－y＋m＝0，由

m＋1x－y＋m＋1＝0，x＝－1，解得

y＝0，20＝4，故直线上存在一点P，使之到点M的距离等于32＋4211115＝>4，故直线上不存在点P到M的距离等于4，不是55

∴点A的坐标为(－1,0)，

∴不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点．

x＋my－mm＋1＝0，(2)解

由

m＋1x－y＋m＋1＝0，x＝0，解得

y＝m＋1，

即l2与l3交点为B(0，m＋1)．

mx－y＋m＝0，再由解得x＋my－mm＋1＝0，

m＋m＋my＝m＋1，322mx＝2，m＋1

m＋m＋mm即l1与l2交点为C2，. m2＋1m＋1设边AB上的高为h，

1∴S△ABC＝|AB|·h

232

1＝·1＋m＋1·2mm＋1－m＋m＋m＋m＋1m2＋1m2＋12m＋12＋132

22m1|m＋m＋1|1m＋m＋11＝·2＝·2＝1＋m2＋1. 2m＋12m＋121111＋1. 当m＝0时，S＝；当m≠0时，S＝22m＋m1∵函数f(x)＝x＋的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．

x1111∴－≤＜0或0＜≤，

2112m＋m＋mm1113∴≤S≤或＜S≤. 422431当m＝1时，△ABC的面积的最大值为，当m＝－1时，△ABC的面积的最小值为. 44