3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课件配套优秀公开课教案设计

第三章

直线与方程

3.1.1

直线的倾斜角和斜率

授课类型：新授课

一、教学目标：

1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、过程与方法：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。

3、情感态度与价值观：（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

二、教学重点、难点

重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

三、学法指导：启发、引导、讨论。

四、教学过程：[来源:Zxxk.Com]

（一）直线的倾斜角的概念

思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？[来源学科网][来源学科网ZXXK]

问题2：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？

定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

．．．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α = 0°。范围：0°

≤

α

＜180°。

当直线l与x轴垂直时，α = 90°。

当直线a ∥b ∥c，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：

一个点和一个倾斜角. 。

．．．P．．．．．．．α．（二）直线的斜率

思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡度(比)升高量）

前进量[来源学科网]定义：一条直线的倾斜角α（α

≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。k = tan α（1）当直线l与x轴平行或重合时，α = 0°，k = tan0° = 0；

（2）当直线l与x轴垂直时，α = 90°，k不存在。

如：α =

45°时，k = tan45° = 1；α =135°时，k = tan135° = – tan45° = – 1。

（三）

直线的斜率公式

问题：给定两点P1 (x1 , y1) , P2 (x2 , y2)，x1 ≠

x2，求直线P1P2的斜率。

（1）当α为锐角时，Q(x2,y1)，

ktantanP2P1Q|P2Q|y2y1。

|P1Q|x2x1（2）当α为钝角时，Q(x2,y1)，

ktantantanP2P1Q

结论（直线的斜率公式）：ktan|P2Q|yy1y2y1。

2|P1Q|x1x2x2x1y2y1(x1x2)。

x2x1思考：（1）当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

（2）已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B两点坐标的顺序有关吗？

（3）当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

（四）例题巩固

例1：已知A (3 , 2) ,

B (– 4 , 1) , C (0 , – 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。分析：kAB角为锐角。

一般结论：

当k = tan α < 0时，倾斜角α是钝角；当k = tan α > 0时，倾斜角α是锐角；当k = tan α = 0时，倾斜角α是0°。

例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1，–

1 ，2，及

–

3的直线l1，l2，l3及l4。

分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l1上的另外一点M，而M的坐标可以根据直线l1的斜率确定。

（五）课堂练习：课本P86，练习1，2，3，4。

（六）归纳小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线的斜率公式：ktan[来源学&科&网]

11，其倾斜角为锐角；kBC，其倾斜角为钝角；kAC1，其倾斜72y2y1(x1x2)。

x2x1（七）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。

教学反思

自我感觉这节课的亮点有以下几个方面：

⒈

在新知识的引入及过渡语的设计方面：

⑴．由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于《几何画板》的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，从而引入描述直线倾斜程度的概念——直线的倾斜角；

⑵．由初中学过的坡角、坡度的概念以及坡度与坡角之间的关系引入直线斜率的概念；

⑶．引导学生思考由两点既然可以确定一条直线，直线定了，这条直线的倾斜角就定了，如果直线斜率存在，那么直线的斜率就定了，那么是否能通过直线上任意两点计算出这条直线的斜率呢？并设置练习，已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系而引入直线斜率的计算公式。

⒉

在细节处理方面：注重新知识与旧就知识的联系，注重概念的透彻理解，注重细节的强调。如对倾斜角为

的直线的斜率不存在性的本质理解，它不是规定的，而是由于

的正切值是不存的；在斜率存在的情况下，斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围，概念的易错点，都做了细致的分析，并在课件上通过展示给了更直观的讲解；在习题的设置方面，符合学生的认知规律，由特殊到一般，由浅入深。

⒊

注重数形结合的思想：数形结合，使概念更直观、易懂，能够更好的理解直线的倾斜角的概念，斜率的概念，以及倾斜角为

的直线的斜率不存在等，数形结合的思想贯穿整个教学过程。

⒋

注重归纳小结，注重和学生互动，关注学生学习状态，

尽管准备的很充分，但并没有达到预期的效果，主要存在以下几个方面的不足，需要不断努力改进：

1

对学生的个别关注度还不够，还需加强。

2.时间安排不当。在“斜率存在性的探讨和在斜率存在的情况下，斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围的探讨”过程中时间过长，以至于后面讲解直线的斜率公式的推导和例题讲解的时间严重不足和拖堂的遗憾。

3.

教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响。由于紧张，课堂中出现了说反了的现象。这些细节方面都需要严格把关，平时要反复琢磨。因为说到底，教师是要靠语言艺术去感染学生的。

4.

板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，摆在学生面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方，作图时一气呵成，让学生赏心悦目，叹为观止。