3.2.2 直线的两点式方程公开课参赛课教案

3.2.2 直线的两点式方程教案

【学习要求】

1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；

2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．

【学法指导】

通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．

【填一填·知识要点、记下疑难点】

1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 叫做直线的两点式方程，简称两点式．

2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程

由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的

．

3．线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标公式为 .

【研一研·问题探究、课堂更高效】

[问题情境] 已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？

探究点一

直线的两点式方程

导引

已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？

问题1

经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？

答

利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的方程．

问题2

能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样

转化？

y2－y1答

由于x1≠x2，所求直线的斜率k＝.取P1(x1，y1)和k，由点斜式方程，得y－y1x2－x1y2－y1y－y1x－x1＝(x－x1)，由y1≠y2，方程两边同除以y2－y1，得＝. x2－x1y2－y1x2－x1y－y1x－x1小结

经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程＝y2－y1x2－x1叫做直线的两点式方程，简称两点式．

问题3

从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？

答

两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．

【例题解析】

例1

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．

小结

我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在yxy轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线ab的截距式方程．

跟踪训练1

三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．

1

探究点二

直线两点式、截距式方程的应用

问题

如图所示，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？

答

过点A，B，M分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别为A1(x1,0)，A2(0，y1)，B1(x2,0)，B2(0，y2)，M1(x,0)，M2(0，y)．M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，即A1M1＝M1B1，A2M2＝M2B2.所以x－x1＝x2－x，y－y1＝y2x1＋x2y1＋y2－y.即x＝，y＝. 22这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．

小结

已知P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则y＋yy＝22x2＋x1x＝，21

，这个公式为线段的中点坐标公式．

例2

已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

小结

当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．

跟踪训练2

已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上的高AD所在直线的方程；

(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．

例3

求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．

小结

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

跟踪训练3

求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．

【练一练·当堂检测、目标达成落实处】

1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是(

) xyxyxyxyA.＋＝1

B.＋＝1

C.－＝1

D.＋＝1 3－44－3－34－342．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是______．

3．直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．

【课堂小结】

1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．

y2－y1y－y1x－x12．方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x≠x，y≠y)以及(y－y1)(x2－x1)＝(xx2－x1y2－y1x2－x11212－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同.

2

【课后巩固练习】

3.2.2

直线的两点式方程

一、基础过关

1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是

(

) A．x＋y＋1＝0

B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0

D．x－y－1＝0 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程

(

) A．可以写成两点式或截距式

B．可以写成两点式或斜截式或点斜式

C．可以写成点斜式或截距式

D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

xy3．直线2－2＝1在y轴上的截距是

(

) abA．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b

4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是

(

) A．3x－y－8＝0

B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0

D．3x＋y＋2＝0 5．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．

6．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是______________．

7．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．

8．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：

(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；

(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．

二、能力提升

xyxy9．直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是

(

) mnnm

10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是

(

) A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0

D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 11．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．

12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．

三、探究与拓展

13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．

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