3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案

倾斜角与斜率

内容及其解析

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

目标及其解析

目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率

3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k=

（x1≠x2）

教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？

(设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。) 问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

1

由此可以定义直线的倾斜角

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤＜180

故

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1.

直线倾斜角的定义包括两部分

（1）

当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

（2）

当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2.

在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。

问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置？

师生活动：

1.

已知直线过点P能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P转动

2

2.

已知直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图因为直线可以平行移动

3.

当直线过定点p并已知它倾斜角是45，能确定直线的位置吗？

能确定，直线过定点p，并且倾斜角是45，因此这条直线不能转动和平移了。

如图：

由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外

还有已知一点和一个倾斜角

例1：如图所示，直线l的倾斜角是多少度（

）

A．45

B

135

C

0

D. 不存在

变式训练：已知一条直线在第一象限过一点M，其倾斜角是30，作出这条直

问题二：什么是斜率？

3

（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容）

问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？

学生思考并进行讨论学习

结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度（比）=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

因此

直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在）

问题2：探究当在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？

例2：已知一条直线与X轴平行，则这条直线的斜率k的值是（）

A.0

B -3

C

1

D 不存在

问题三：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

师生活动：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？

y y P2P2P1o （1P1（x1，X o y2y1（x1≠x2）。

x2x1X （小结：两点间斜率的计算公式k1、倾斜角的定义及范围

2、斜率的定义和求法

3、两点间斜率的计算公式ky2y1（x1≠x2）。

x2x14