3.3.1 两条直线的交点坐标教案设计（一等奖）

两直线的交点坐标

一．教学分析

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 二．三维目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 三．重点难点

教学重点: 根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点: 对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 四．课时安排

1课时

教学过程

（一）知识复习

1．二元一次方程组的解法：____________．

2．平面上两条直线的位置关系：__________________．

3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， （1） l1⊥l2的条件为______________ （2） l1与l2平行或重合的条件为______________ （3） l1与l2相交的条件为 ______________ （二）新知探究

问1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 问2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 问3能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？

问4一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？

1

如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定

是它们的方程组成的方程组的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点.

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系

点A 直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A 代数表示

A(a，b) l：Ax+By+C=0

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组A1xB1yC10,是否有唯一解. A2xB2yC20(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

l1、l2相交,唯一解转化直线l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行. (代数问题) (几何问题) ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)26326134;(ⅲ)≠;(ⅱ)≠. 111111213232一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,A2B2A1B1C1A1xB1yC10方程组无穷多解l1l2重合,. A2B2C2A2xB2yC20ABC无解111l1l2平行.A2B2C2[破疑点] 若两直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能有重合．

（三）[知识拓展] 直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量)．

2

(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2. (2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．

(3)垂直直线系方程：与Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0. (4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．

在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．

（四）新知自测

1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(

) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,1) D．(2,2) [答案] A 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(

) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) [答案] B 3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

A1x＋B1y＋C1＝0，

当l1与l2平行时，方程组解的个数是(

) A2x＋B2y＋C2＝0

A．0

B．1

C．2

D．无数个

4．判断直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x－2y＋3＝0的位置关系，如果相交，求出交点坐标．

[点评] 本题也可利用斜率或A1B2－A2B1≠0判断这两条直线相交，但不能求出交点坐标．

（五）互动探究

探究方向1：两直线的交点问题

例1判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；

(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [探究] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．

规律总结：1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系

3

2．两条直线相交的判定方法：

(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；

(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．

特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．

跟综练习1

(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(

) 1A．(－1，3)

1C．(3，1)

在y轴上，则m的值为(

) A．6

C．±6

B．－24 D．以上都不对

1B．(1，3) 1D．(－1，－3) (2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点探究方向2：直线恒过定点问题

例2求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一个定点．

[探究] 既然m不论取何值，直线恒过定点，可以任取m的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出定点，最后证明直线恒过该点． [证明]

证法一：取m＝1，得直线y＝－4. 1取m＝2，得直线x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．

将x＝9，y＝－4代入方程，

左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，

∴直线恒过点(9，－4)．

证法二：直线方程可变形为

(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0. ∵对任意m该方程恒成立，

x＋2y－1＝0，x＝9，∴⇒

x＋y－5＝0y＝－4.

故直线恒过定点(9，－4)．

4

规律总结：解决含参数的直线恒过定点问题，常用的方法有两种．

(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两个不同的直线方程，那么定点必在这两个方程表示的直线上，解这两个方程组成的方程组，即得定点坐标．

分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号左边为0的形式，然后令参数的系数和不含参数的项分别为零，解得此方程组的解即为已知含参直线恒过的定点．即将所给方程化成(A1x＋B1y＋C1)＋m(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，

A1x＋B1y＋C1＝0，方程组A2x＋B2y＋C2＝0

的解即为定点坐标．

跟综练习2：

(1)直线(2m－1)x－(m＋2)y＋m＝－3(m∈R)恒过定点(

) 1A．(2，2)

34C．(5，5)

B．(2，－1) 17D．(5，

5)

(2)不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(

) A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案] (1)D (2)D 探究方向3：用过两直线交点的直线系方程解题

例3：已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．

[探究] 可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．

[解析]

＝2，

x－2y＋3＝0，解法一：解方程组：2x＋3y－8＝0

得x＝1，y∴l1与l2的交点为(1,2)，

∵直线l过点(1,2)且与直线3x＋4y－2＝0平行，

∴设方程为3x＋4y＋c＝0，把(1,2)代入得：c＝－11，

∴所求方程为：3x＋4y－11＝0. 解法二：∵l过l1与l2的交点，

∴设l的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0，

即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，

∵l与直线3x＋4y－2＝0平行，

－2λ＋1＝－3，43λ－2∴8λ－31≠，3λ－22

∴λ＝10，

∴l的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，

即3x＋4y－11＝0.

5

规律总结：(1)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m，n不同时为0)．

(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常用．

求直线方程的问题时，如果知道所求直线过已知两直线的交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点的繁杂计算．

跟综练习3：

求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．

[分析] 既可以用通过两直线交点的直线系求解，也可以先解出两直线的交点，然后再求解．

规律总结：使用过两直线交点的直线系方程避免了求两条直线的交点，但解题过程不一定简捷．若使用与直线垂直的直线系方程，要先求交点，求交点有时也不繁杂，适当选择不同方法求解，有助于训练自己的解题思路，使自己的思路更宽阔．

（六）误区警示：易错点

含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误

例4若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为(

) A．a≠±1 B．a≠1且a≠－2 C．a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 [错解] 选A或选B [错因分析] 在解题过程中，若由①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．

由②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．

[解析]

因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．

x＋ay＋1＝0，(1)若三条直线交于一点，由x＋y＋a＝0，x＝－a－1，解得y＝1，

将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程

①

解得a＝1或a＝－2. (2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，

②

当a＝1时，l1与l2重合．

(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，

当a＝1，l2与l3重合．

(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，

当a＝1时，l1与l3重合．

综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；

当a＝－2时，三条直线交于一点，

所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D

6

针对训练：

1若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________. 2．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是(

) A．(2，－2) B．(－2,2) C．(－2,1) D．(－1,2) [答案] B 3．已知直线l1：4x＋3y＝10，l2：2x－y＝10，l3：ax＋2y＋8＝0，则l1与l2的交点为________；若l1，l2，l3三直线相交于同一点，则a＝________. [答案] (4，－2) －1 [解析] 联立l1与l2的方程，解方程组得交点坐标；当交点也在l3上，即交点坐标也满足l3的方程，可解得a的值．

4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点________. [答案] (－1，－2) 5．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．

（七）课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. （八）课后作业

习题A组：1.2.3.4题

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